利用Python，实现雅克比(Jacobi)迭代法以及高斯-塞德尔(G-S)迭代法【矩阵形式】

利用Python，实现雅克比(Jacobi)迭代法以及高斯-塞德尔(G-S)迭代法【矩阵形式】

本文讲解使用Jacobi迭代和G-S迭代算法求解方程组的Python代码实现，同时涉及算法的原理阐述。

【Jacobi算法原理】

已知：现有n元线性方程组，如何通过代码实现该方程组的有解的判定，以及自变量求解？

矩阵形式如下：

设方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，且主对角元素aii≠0(i=1,2,…,n),则可将A分裂成：

Ax=b等价为矩阵形式的过程如下：

【Jacobi的Python代码实现】

步骤如下：

1.1输入自变量个数mu，方程个数nu，迭代误差精度e

a = input("请输入自变量X的个数mu，以及方程个数nu：")
mu, nu = [int(i) for i in a.split(" ")]
b = input("请输入要求的误差精度e：")
e = float(b)
print(str(mu) + "  " + str(nu)+" "+str(e))

1.2初始化LDU矩阵（p为行数，q为当前列数。）

L, D, U = [], [], []  # 初始化LDU矩阵
for p in range(nu):
    L.append([]), D.append([]), U.append([])
    for q in range(mu):
        x_in = float(input("请输入第%d行第%d列的系数：" % (p + 1, q + 1)))
        if p < q:
            L[p].append(x_in), D[p].append(0), U[p].append(0)
        elif p == q:
            L[p].append(0), D[p].append(x_in), U[p].append(0)
        else:
            L[p].append(0), D[p].append(0), U[p].append(x_in)
L, D, U = np.array(L), np.array(D), np.array(U)

1.3构建自变量初值X_Current矩阵

X_Current = []  # 自变量x矩阵
for q in range(mu):
    x_in = float(input("请输入X%d的初值为：" %q))
    X_Current.append(x_in)
X_Current = np.array(X_Current).T  # 将X行向量转置为列向量,便于后面矩阵的计算；

1.4初始化因变量y矩阵

b_Const = []  # 因变量y矩阵
for p in range(nu):
    y_in = float(input("请输入第%d个方程的Y值：" % (p + 1)))
    b_Const.append(y_in)
b_Const = np.array(b_Const).T  # 将X行向量转置为列向量,便于后面矩阵的计算；

1.5计算并得到G1，d1矩阵（参照前面的Jacobi迭代公式）

L_U = copy.deepcopy(L)
for p in range(nu):
    for q in range(mu):
        L_U[p][q] = L[p][q]+U[p][q]  # 将L与U按行，对应位置相加
        
G1 = np.dot(-np.linalg.inv(D), L_U)  # np.linalg.inv(D)求矩阵的逆
d1 = np.dot(np.linalg.inv(D), b_Const)

1.6将迭代计算公式放入循环中，当迭代误差达到e精度时，打印X的求解结果

# x^(k+1) = G1*x^(k) + d1
X_New = copy.deepcopy(X_Current)  #  导入copy库，深度拷贝X_Current作为X_New的初始化；

# Jacobi迭代
epoch = 0  # 迭代次数
while 1:
    flag = 0  # 误差精度标记,统计达到精度要求的x数目，当X_New同一个epoch里所有的x迭代结果均达到精度时，输出X_New
    X_Current = X_New
    X_New = np.dot(G1, X_Current)
    for p in range(mu):
        X_New[p] = X_New[p] + d1[p]
        if math.fabs(X_New[p]-X_Current[p]) < e:
            flag += 1
    epoch += 1
    if epoch > 50:  # 根据Jacobi迭代收敛特性，设定迭代上限为50次；
        print("Jacobi迭代不收敛！")
        epoch = 0
        break

    if flag == mu:
        print("Jacobi迭代结果如下：")
        print(X_New)
        break

需要注意的地方：1.flag == mu，# 误差精度标记,统计达到精度要求的x数目，当X_New同一个epoch里所有的x迭代结果均达到精度时，输出X_New。2. epoch > 50，#根据Jacobi迭代收敛特性，设定迭代上限为50次,防止程序死锁；

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【G-S算法原理】

即为矩阵形式求解的另一种迭代公式，推导过程与上述的Jacobi公式近似：

又因为|D|≠0,所以|D+L|≠0,故：

【G-S的Python代码实现】

与Jacobi代码实现近似，需要修改的部分如下：

# 计算D+L
D_L = copy.deepcopy(L)
for p in range(mu):
    for q in range(nu):
        D_L[p][q] = D[p][q]+L[p][q]

G2 = np.dot(-np.linalg.inv(D_L), U)  # np.linalg.inv(D+L)求矩阵的逆
d2 = np.dot(np.linalg.inv(D_L), b_Const)

测试情况：

测试截图：