起始点的跳变、冲激函数匹配法

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起始点的跳变——从 $\bm{0_-}$到 $\bm{0_+}$状态的改变

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由于激励信号的作用，响应 $r(t)$及其各阶导数有可能在 $t=0$时刻发生跳变。
为了区分跳变前后的状态，我们以 $0_-$表示激励接入之前的瞬间，以 $0_+$表示激励接入之后的瞬间。
与此对应，有了 $0_-$时刻和 $0_+$时刻两组状态。

$0_-$时刻，我们称之为初始状态（或 $0_-$状态、起始状态），还未加激励。
$0_+时刻$，我们称之为初始条件（或 $0_+$状态、导出的起始状态），0时刻加入激励。

对于实际的电网络系统，为了决定其数学模型的初始条件，可以利用系统内部储能特性的连续性（电容、电感的储能特性）
具体表现为：
在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容的条件下，电容两端电压不发生跳变；在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感的条件下，经过电感的电流不发生跳变。这时满足电路当中的换路定理。

否则会出现以下跳变的情况：

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若在电容极板上加上阶跃电压（冲激电流）

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当有冲激电流强迫作用于电容时，电容的状态会发生突变。

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若在电感线圈上加上阶跃电流（冲激电压）

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当有冲激电压强迫作用于电感时，电感的状态会发生突变。

这是有区别于换路定理的。
因为不满足换路定理的使用条件：
（1）如果电路中存在有全部由电容元件组成的回路或由电容元件与理想电压源组成的回路，当激励接入或者换路时，电容电压可能发生跃变。
（2）如果电路中存在有全部由含电感元件组成的割集或由含电感元件与理想电流源组成的割集，当激励接入或电路发生换路时，电感电流也可能发生跃变。

（3）激励是冲激信号。
如果回路里有电阻的话，即便加入阶跃电压（阶跃电流），也过不去一个冲激电流（冲激电压）直接加载电感（电容极板）上。

在电路发生“强迫跃变”的情况下，
只能根据电荷守恒 $q(0+)=q(0-)=CUc(0+)=CUc(0-)$

和磁链守恒 $Ψ(0+)=Ψ(0-)=Li(0+)=Li(0-)$的原理确定状态变量有关的初始值， 这时如果仍然按照“换路定理”进行分析与计算就是错误的。

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发生跳变的标志

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当方程右端自由项包含冲激信号时，有可能发生跳变。

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冲激函数匹配法确定初始条件——由 $r(0_-)$确定 $r(0_+)$

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配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡（其他项也应该平衡）
右端自由项的最高导次应该包含在左端最高导次之中。

函数 $\bm{△u(t)}$：
表示从 $0_-到0_+$相对单位跳变函数

推导过程：
已知自由项为3倍的冲击偶函数

## Tips：

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冲激偶函数（是奇函数哦）

对 $r^{'}(t)$进行假设后在 $0_-到0_+$积分
$\bm{△u(t)}$积分为单位斜坡信号在 $0_-到0_+$区间等于0

冲激函数只有在0时刻有值，在 $0_-和0_+$都为0
所以：
可以确定 $r(0_+)和r(0_-)$的跳变就等于系数b

同样的，如果要求 $r^{'}(0_+)$的时候只需要知道系数c就可以了

例题：

由已知图像得激励 $e(t)$为 $2△u(t)$
将 $e(t)$代入右端自由项
得

等式左端 $r^{''}(t)$应包含右端冲激函数的导数最高阶次

不难求出 $a = 2$, $b= -2$, $c=2$
$r(0_+)-r(0_-)=a(△u(0_+)-△u(0_-))=a=2$
且有

其实只要 $r(0_+)-r(0_-)$得出的系数a不等于0，即 $△u(t)$前的系数不等于0，实际上就发生了跳变。

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