数字信号处理学习笔记[5] 冲激函数——delta函数

5 冲激函数——$\delta$函数

5.1 冲激函数——$\delta$函数的定义和频谱

0. Q: 如何理解“$\delta (t)=+\infty ,t=0;\delta (t)=0,t\ne 0$和${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt$只反映了$\delta$函数的两个特点，我们需要从$\delta$函数与其他函数的关系中了解$\delta$函数”？
   A: $\delta$函数反映了某种工程中“结果导向”的思想。不管你具体结构，只要你“筛选性质”（和其他函数作用时特定关系）成立，就称为$\delta$函数。“筛选性质”是其核心之义，而那两个特点只是自然推论。
1. Q: 用频谱证明函数列极限是冲激函数怎么做？
   A: 提示：1和$\delta$是傅里叶变换对。实际上相当于证明频谱极限为常数1
   更详细地，只需要证明$li{m}_{\lambda \to \beta }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{G}_{\lambda }(-f)\Phi (f)df=\varphi (0)$这样“和试验函数作用的极限”即可。（即：在试验函数“看来”频谱极限为常数1）
2. Q: 背诵$cos2\pi f_{0}t$的频谱。
   A: 提示：$e^{i2\pi f_{0}t}$就是“单频”，也就是$\delta (f-f_0)$，则$cos2\pi f_{0}t$频谱当然就是$\frac{1}{2}(\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0))$
3. Q: 用时域微分考察$sgnt$.
   A: $sgnt$频谱$1/i\pi f$，$2\delta (t)$频谱就是$1/i\pi f\cdot 2i\pi f=2$.
   注：若微分后频谱$S(f)$不包含$\delta (t)$成分，那么$S(f)/2i\pi f$也不包含。故$S(f)/2i\pi f$一定唯一对应频谱无$\delta (t)$成分的那个积分结果，例如此处$sgnt$。（即：指定积分常数，避免不唯一性）
4. Q: 试验函数和针对广义函数的运算有何联系？
   A: 广义函数是基本空间$\mathcal{D}$上的线性连续泛函，基本空间上试验函数性质很好。故对广义函数的一些运算转移到试验函数上。
   （即：可以不“显式知道”计算结果，只需要知道计算结果和试验函数间如何作用即可。如对广义函数求导，只需知道形式记号${\delta }^{\prime }(t)$在和试验函数作用时有何结果即可）
5. Q: 接上，对广义函数求导举例说明。
   A: $⟨f^{\prime },\varphi ⟩=-⟨f,{\varphi }^{\prime }⟩$，其实是分部积分法，并利用试验函数在有限区间之外都为0的性质。

5.2 $\delta$函数的微商

0. Q: $\delta$函数微商的频谱有何作用？
   A: 例：对于多项式、多项式乘以三角函数等可以快速给出傅里叶变换对。
1. Q: 如何求$\delta$函数微商和普通的连续函数的乘积？
   A: 根据定义计算：$\int \beta {\delta }^{(k)}\varphi dt=(-1{)}^k(\beta \varphi {)}^{(k)}=\cdots (乘积求导，莱布尼兹公式)$

5.3 用$\delta$函数求函数的微商和频谱

0. Q: 单位阶跃函数的微商和上节有何联系？
   A: 可以由微积分基本定理直观直接看出结果：$u^{\prime }(t)=\delta (t)$.
   也可以用上节$⟨u^{\prime },\varphi ⟩=-⟨u,{\varphi }^{\prime }⟩$看出。
1. Q: 用$\delta$函数表示间断函数的微商时，如何理解公式$g^{(k)}(t)={\sum }_{l=0}^{k-1}(g^{(l)}(t_0+)-g^{(l)}(t_0-)){\delta }^{(k-l)}(t-t_0)+u(t_0-t)g_1^{(k)}(t)+u(t-t_0)g_2^{(k)}(t)$对于$t_0$是$g^{(k)}(t)$连续点时仍成立？
   A: 根据微积分基本定理，若$t_0$是$g^{(k)}(t)$连续点，则也是上式中$g^{(l)}(t)$连续点，则第一项为0.
   注：$0\delta (t)=0$并不是所谓“$0\cdot \infty$不定式”，请回忆广义函数定义。注意$f(t)=1,t=0;f(t)=0,f\ne 0$和$f(t)\equiv 0$处于同一等价类。
   第二、三项中，$g_1=g_2$，只需保证$u(t_0-t)+u(t-t_0)\equiv 1$即可，而这显然成立（此处看到定义$u(0)=1/2$是有理由的）
2. Q: 用$\delta$函数求频谱时，如何克服积分导致的不唯一性问题？（回忆5.1节题3.）
   A: 只要确保做微分前后频谱不含$\delta (t)$成分即可。比如$sgn$.
   再比如：对于$k$次微分，有限区域外全为0的函数微分前后频谱不含$\delta (t),{\delta }^{\prime }(t),\cdots ,{\delta }^{(k-1)}(t)$成分
   （直接根据定义$\delta$函数微商定义，用$\int \int x(t)e^{-i2\pi ft}dt\cdot \Phi (f)df=0$即可说明这点。其中$\Phi (f)$是只有0附近有非零$m$阶导数而大部分地方为0的函数）
   （$x(t)$在0处间断，或者有$\delta (t)$，都不影响。只有$x(t)$出现了非零的多项式成分$c_0+c_{1}t$等等才影响）
   这就说明可以把$\delta$函数和其微商线性组合的频谱$S(f)$直接除以$(i2\pi f{)}^m$得到结果，如同课本例1.