数字信号处理学习笔记[0] 连续信号的频谱和傅氏变换

绪论

0. Q: 举例说明“信号是携带信息的一元或多元函数”
   A: 如声音、心电图、气象温度记录是一元函数$f(t)$，图像是二元函数$f(x,y)$，电影是三元函数$f(x,y,t)$，地下构造是三元函数$f(x,y,z)$.
1. Q: 如何理解“数字信号处理要灵活得多，应用也要广泛得多”？
   A: 信号处理分为模拟信号处理（自变量为连续的）和数字信号处理（例：计算机中数字信号自变量和取值都是离散的，信号取值为有限长二进制数。即：经过抽样和量化）。
   模拟信号处理通过电子线路实现，数字信号处理通过计算机实现。计算机相比电子线路更灵活，更通用。

1 连续信号的频谱和傅氏变换

1.1 有限区间上连续信号的傅氏级数和离散频谱

0. Q: 频率，振幅，相位和频谱有什么关系？
   A: 频谱中的频率是已知（指定）的（一系列可数或不可数个值），而振幅和相位在此条件下就由原始的信号决定，这些振幅和相位称为信号的频谱。

1. Q: 两种傅氏级数展开式
   $x(t)=b_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}sin2\pi n{f}_{0}t+b_{n}cos2\pi n{f}_{0}t)$
   $x(t)=A_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(2\pi n{f}_{0}t+{\varphi }_n)={\sum }_{n=0}^n{A}_{n}sin(2\pi n{f}_{0}t+{\varphi }_n)$分别如何转换成工程中常见的复数形式？举例说明复数形式的傅氏级数仍有丰富物理意义。
   A: 工程中使用复数形式傅氏级数往往更方便。
   $$\begin{gathered} x(t)=b_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}sin2\pi n{f}_{0}t+b_{n}cos2\pi n{f}_{0}t) \\ =b_0+\sum (a_n\frac{-i(e^{i2\pi n{f}_{0}t}-e^{-i2\pi n{f}_{0}t})}{2}+b_n\frac{e^{i2\pi n{f}_{0}t}+e^{-i2\pi n{f}_{0}t}}{2}) \\ :=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{i2\pi n{f}_{0}t} \end{gathered}$$
   $$\begin{gathered} x(t)=\sum _{n=0}^n{A}_{n}sin(2\pi n{f}_{0}t+{\varphi }_n) \\ =\sum \frac{-i{A}_n(e^{i{\varphi }_n}{e}^{i2\pi n{f}_{0}t}-e^{-i{\varphi }_n}{e}^{-i2\pi n{f}_{0}t})}{2} \\ :=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{i2\pi n{f}_{0}t} \end{gathered}$$
   例：两边求辐角不难发现$Arg{c}_n={\varphi }_n-\pi /2,n>0$.
   关于$c_n$模长，以及关于$n\le 0$的情况对应的公式略。这些都体现了$c_n$的物理意义。

2. Q: 背诵$c_m$的表达式，并解说被积函数指数处的负号。
   A: $c_m=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi m{f}_{0}t}dt$，负号可以理解成
   为了留下$e^{i2\pi m{f}_{0}t}$项而两边同乘$e^{-i2\pi m{f}_{0}t}$，这样左侧各项只有$c_m$变为常数，其余都是周期函数。积分后左侧只剩下$c_m$. 此时右侧就是$x(t)e^{-i2\pi n{f}_{0}t}$积分。
   注：${\int }_0^T{e}^{i2\pi (n-m)f_{0}t}dt={\delta }_{nm}T$，${\delta }_{nm}$是克罗内克记号。

3. Q: 对于傅里叶展开，我们考察以下模式化的过程。

   1. 写出两个变换式。
      $x(t)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{i2\pi n{f}_{0}t}$ (1)
      $c_n=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi n{f}_{0}t}dt$ (2)
      问：如果考察的是傅里叶变换，这里写出的两个变换式就应该是（）
   2. 换两处变量名。
      首先，(1)中换变量名$c_n$为$d_n$，表示反设同样的$x(t)$对应了两组不同的展开式系数 { c n } , { d n } \{c_n\},\{d_n\} { cn​},{ dn​}。
      其次，(2)中换变量名$n$为$m$，避免在代入时出现内层变量遮蔽(Shadow)外层同名变量。
      得到：
      $x(t)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }{d}_n{e}^{i2\pi n{f}_{0}t}$ (1)
      $c_m=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi m{f}_{0}t}dt$ (2)
   3. 将（）代入（）的（）侧。
   4. 化简（其中需要交换（））。从而说明了（）。
      这一套模式化步骤的意义是什么？

A: $X(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt,x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X(f)e^{i2\pi ft}df$
(1)，(2)，右
积分和求和顺序（也可称为：积分顺序。因为求和可以看成特殊的积分），$\forall n,d_n=c_n$
意义：如果$x(t)$可以表达为$\sum d_n{e}^{i2\pi n{f}_{0}t}$，则$d_n$只可能是$c_n$，也就是从信号$x(t)$可唯一确定展开式系数$c_n$.

4. Q: 刚刚证了一一对应的一边，现在想证一一对应的另一边。模仿以上步骤，把(2)代入(1)的右侧，过程中会有什么麻烦？
   A: $\sum e^{i2\pi n{f}_{0}s}\frac{1}{T}\int y(t)e^{-i2\pi n{f}_{0}t}dt=\frac{1}{T}\int \sum y(t)e^{i2\pi n{f}_0(s-t)}dt$，这难以进行初等的化简。之后我们会知道使用狄拉克$\delta$函数可以处理。
   注：傅里叶变换与傅里叶逆变换间按此手法代入，也将得到类似的难以初等化简的形式。
5. Q: 设$x(t)$在有限区间上连续或者只有（）个（）类间断点。只有有限个极大、极小点。则傅氏级数（）（收敛类型）收敛到（）。
   A: 有限，一，点点，左极限和右极限平均值
   （注：区间边界处认为“循环”地看“左、右”）
6. Q: 如何理解“复杂波和简单波是相对的”？
   A: 提示：选定方波是简单波，把其它波分解成方波的叠加（线性组合），称为沃希函数分析。
   注：然而理论和实践表明傅里叶展开仍然是最重要的。

1.2 傅氏变换，连续信号与频谱

0. Q: 定义（连续）振幅谱。
   A: 对于$\mathbb{R}$上连续函数$x$，有傅里叶变换和逆傅里叶变换：$X(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt,x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X(f)e^{i2\pi ft}df$. $X(f)$是复函数，表示成$X(f)=A(f)e^{i\Phi (f)}$，其中$A(f)=|X(f)|$就是$x(t)$的振幅谱。

1. Q: 为什么要采用频率$f$而不是角频率$\omega$书写公式？
   A: 这时正、逆傅里叶变换是对称的，且前面没有系数$1/\sqrt{2\pi }$. 这比较美观好记。
   注：当然，“代价”是指数处是$\pm i2\pi ft$而不是简单的$\pm i\omega t$.

2. Q: 这里正、逆傅里叶变换的正负号是一条人为约定。该约定和上一节傅里叶展开的公式有什么联系？
   A: 对于傅里叶展开，我们理解为把一个信号展开成一系列信号的和。这里我们比较自然地认为不带负号，即系数$c_n$对应$e^{i2\pi n{f}_{0}t}$这一项。
   在傅里叶变换中，把“积分”看成扩展了的和，与傅里叶展开做类比，就可以帮助记忆$x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X(f)e^{i2\pi ft}df$没有负号。（当然，相应另一边就有负号）

3. Q: 实偶函数的频谱有何性质？
   A: 恒为实数（相位谱恒为0），且为偶函数。
   注：共轭性质：$x(t)$频谱为$X(f)$则$\bar{x}(t)$频谱为$\bar{X}(-f)$. 当$x(t)$为实信号有$X(f)=\bar{X}(-f)$，本问是上述命题的特殊情况。

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4. Q: 哪些频谱和一些概率分布的特征函数对应，从而易于记忆？具体如何建立两者的联系？
   A: 方波对应均匀分布，钟形波对应正态分布，单边指数衰减波对应指数分布，双边指数衰减波对应拉普拉斯分布。
   具体地，例如$(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-x^2/2}$特征函数$e^{-t^2/2}$，即
   $$\begin{gathered} e^{-t^2/2}={\int }_{-\infty }^{+\infty }(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-x^2/2}{e}^{itx}dx \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-4{\pi }^2(\frac{x}{-2\pi }{)}^2/2}{e}^{-i2\pi t(\frac{x}{-2\pi })}d(\frac{x}{-2\pi })\cdot (-2\pi ) \\ ={\int }_{+\infty }^{-\infty }(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-(-2\pi x^{\ast }{)}^2/2}{e}^{-i2\pi t{x}^{\ast }}d{x}^{\ast }\cdot (-2\pi ) \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-(-2\pi x^{\ast }{)}^2/2}{e}^{-i2\pi t{x}^{\ast }}d{x}^{\ast }\cdot (2\pi ) \end{gathered}$$
   即$(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-(2\pi t{)}^2/2}$的频谱是$e^{-f^2/2}/(2\pi )$.
   总结：概率分布的自变量$x$变成$-2\pi t$，特征函数$f(t)$把自变量从$t$变为$f$后除以$2\pi$.
   拉普拉斯分布$e^{-|x|}/2$的特征函数$1/(1+t^2)$，故双边指数衰减波$e^{-|2\pi t|}/2$的频谱$1/(2\pi (1+f^2))$.
   $-\pi$到$\pi$均匀分布的特征函数$\frac{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}{2\pi it}=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$，故只有$-1/2$到$1/2$值为$1/2\pi$的信号的频谱$\frac{sin(\pi f)}{2\pi \cdot \pi f}$.
   注：特征函数在0处总为1，这可以用来帮助记忆频谱。
   注：对于高斯，也可以记忆$e^{-\pi t^2}$对应$e^{-\pi f^2}.$

5. Q: 如何利用方波的频谱记忆三角波的频谱？
   A: 方波和方波的卷积是三角波（回忆：考虑两个独立同分布的$-1/2$到$1/2$的均匀分布的随机变量和），就容易记忆$(-1,0),(0,1),(1,0)$三点构成三角形对应的三角波的频谱是$sin{c}^2(f):=si{n}^2(\pi f)/(\pi f{)}^2$.
   注：对于围成面积1的方波，卷积后得到围成面积1的三角波，频谱$sinc$做平方，这一事实可以和概率分布的性质进行联系。（概率分布具有归一性，且独立同分布变量和的分布的特征函数等于特征函数乘积）
   注：$sinc$函数有多种定义。此处的定义$sinc(x)=sin\pi x/\pi x$有个好处：只看整数处的取值，你发现了什么？

1.2.3 频谱的基本性质

0. Q: 为什么在工程实际中只需要知道$f\ge 0$时的频谱？
   A: 对于实信号，容易证明$X(f)=\bar{X}(-f)$.
1. Q: 本书定义中的时移定理和随机变量加常数的特征函数有何联系和区别？
   A: 提示：特征函数相当于本书的逆傅里叶变换。（因此下面可以看到相差负号）
   所以：时移延迟$t_0$时（也就是考虑$x(t-t_0)$，相当于概率分布整体加了一个常数$t_0$），本书这边频谱乘以$e^{-i2\pi f{t}_0}$；概率论中随机变量加常数$\mu$时特征函数却乘以了$e^{i\mu t}$. 两者相差负号。
2. Q: 把信号$x(t)$当成频谱时（即：直接改变横坐标标注），如何计算这样的频谱对应的信号？
   A: $x(t)$的频谱是$X(f)$，则$X(-t)$的频谱是$x(f)$.
   注：可以减轻记忆负担，只要记住多出了一个负号，即可。（根据翻转定理，你也可以记忆$X(t)$的频谱是$x(-f)$）
3. Q: 综合时移和傅氏变换的对称性（即前述1.和2.），可以有什么结论？
   A: 频移定理。已知$X(-t)$频谱是$x(f)$，现对$X(-t)$做时移延迟$c$，得$Y(-t):=X(-t+c)=X(-(t-c))$的频谱是$x(f)e^{-2\pi ifc}:=y(f)$.
   $Y(-t)$频谱是$y(f)$，根据2.，得$y(t)=x(t)e^{-2\pi itc}$的频谱就是$Y(f)=X(f+c)$.
   注：通过线性组合得到正、余弦的情形。
   注：频移和时移相差正负号。时移中，括号内$-t_0$对应负；频移中，括号内$+c$对应负。结合1.，这里的一种记忆方式是记忆频移（逆傅里叶变换）对应概率论中求特征函数。因此频移中的$X(f+c)$对应随机变量$-c$，进而对应$e$指数处负。
4. Q: 利用均匀分布的特征函数记忆理想带通频谱及其信号。
   A: 均匀分布$p(x)=1/(2\delta )(当|x-x_0|<\delta )$的特征函数$e^{it{x}_0}\frac{e^{it\delta }-e^{-it\delta }}{2\delta it}=e^{it{x}_0}sin(t\delta )/\delta t$（$t=0$处连续）
   则利用上一节4.，$x$变$2\pi f$，特征函数除以$2\pi$（注意这里是由频谱求信号，故相比之前$x$变$-2\pi f$相差负号）
   得到$S(f)=1/(2\delta )(当|2\pi f-x_0|<\delta )$的信号为$e^{it{x}_0}sin(t\delta )/2\pi \delta t$.
   即$S(f)=1(当|f-x_0/2\pi |<\delta /2\pi )$的信号为$e^{it{x}_0}sin(t\delta )/\pi t$.
   即$S(f)=1(当|f\pm x_0/2\pi |<\delta /2\pi )$的信号为$2cos(t{x}_0)sin(t\delta )/\pi t$.
   注意理想带通可以通过绝对值相同的正频率和负频率成分。
5. Q: 随机变量做线性变换后的特征函数和本书“时间展缩定理”有何联系和区别？
   A: $x(at)$相当于时间加快$a$倍，也相当于随机变量乘以$1/a$，频谱结果为$\frac{1}{|a|}X(f/a)$，其中$|a|$相当于变换的“雅可比行列式”。
6. Q: 解释时移定理、时间展缩定理表达式的直观物理含义。
   A: （仅供参考）时移定理：频谱辐角相比变化前，变化了常数值$-2\pi f{t}_0$，那么给定时间$t$时，应该考察信号图像上原来考察点左侧$t_0$之处的点（原来考察$x(t)$的值，现在考察$x(t-t_0)$的值）。相当于信号图像右移$t_0$.
   时间展缩定理：时域和频域直观上互为“倒数”关系。时域变为$x(at)$相当于时间尺度加快，那么占据的频率自然更高，且频率范围大小也更大。（例如1kHz-2kHz变为2kHz-4kHz）
   但是，如果简单只把频谱做拉伸，那么又会使得振幅错误地成倍数放大。所以要把振幅缩回去。

实际应用举例

0. Q: 为什么要熟记方波、三角波、钟形波频谱？
   A: 方波可用于时钟信号，截断等。三角波可用于扫描等。钟形波可用于“在时域和频域上同时作用”等。它们在实际工程中有广泛应用。
1. Q: 时移定理的一个应用：两张图中有一个物体移位了，试图检测位移大小。实际工程相比理论上时移定理的使用可能出现什么麻烦？
   A: 例如inside-out, outside-in问题，无限和有限区别，采样和量化，噪声和回归，等等。

习题

0. Q: 对于常用积分公式${\int }_a^b{e}^{-i2\pi (n-m)f_{0}t}dt=\frac{e^{-i2\pi (n-m)f_{0}b}-e^{-i2\pi (n-m)f_{0}a}}{-i2\pi (n-m)f_0}$，有什么需要注意的事项？
   A: 如：要讨论$n=m$的情况。最后汇总结果也要单独检查。
   特别地，$m=0$时要讨论$n=0$的情况。
1. Q: 时域、频域微分定理中的正负号从何而来？
   A: 例如时域微分时，频域乘以$2\pi if$，这是由于$x(t)=\cdots$式子中右侧指数为正，故两边求导时，也得到正号。
2. Q: 公式定律的“逆用”始终是各类考试的重点。试对微分定理逆用和“用频谱求积分”做出说明。
   A: 微分定理逆用：乘以$t^n$可以对应于另一个域的微分和数乘。
   “用频谱求积分”：平时是用积分求频谱。而在已知某信号频谱时，可以求某些积分。
   这一般通过对称定理实现。例如方波频谱为$sinc$，但$sinc$积分不好求，此时利用对称定理，用$sinc$的频谱就是方波就可能求。