数字信号处理学习笔记[3] 滤波与褶积，Z变换

3 滤波与褶积，Z变换

3.1 连续信号的滤波和褶积

0. Q: 卷积（褶积）和空间不变（平移对称性）有何联系？
   A: 提示（举例）：位置0影响位置1的程度和1影响2的、2影响3的程度是相同的（并以此类推），这就是空间不变或平移对称性。
   很多物理规律比如万有引力定律等就具有此性质。
   那么考虑0 1 2三个数构成整体，分别对5 6 7三个数的影响，就出现卷积。
   这里还能直观看出卷积中“减号”的物理意义。比如说0对5是“间隔5”的影响，1对5是“间隔4”的影响，等等。0=5-5，1=5-4.
   注：根据实际意义不同，空间不变在实际中可能意义是时不变。
1. Q: 考察公式$\iint X(f)h(\tau )e^{i2\pi f(t-\tau )}d\tau df$，两种积分顺序分别得到什么？
   A: 如果先对$\tau$积分，则第一步得到$\int X(f)H(f)e^{i2\pi ft}df$，这就是频谱为$X(f)H(f)$的信号。
   如果先对$f$积分，则第一步得到$\int h(\tau )x(t-\tau )d\tau$，这就是卷积结果。
   也就是$y(t)=x(t)\ast h(t),Y(f)=X(f)H(f)$.
2. Q: 如何求积分信号$y(t)={\int }_{-t_0}^{t_0}x(t-\tau )d\tau$的频谱？
   A: 提示：相当于时域和方波卷积。

3.2 离散信号的滤波和褶积

0. Q: 什么时候对连续信号的滤波可以通过对离散信号的滤波实现？
   A: 连续信号$x(t)$，连续滤波因子（注：或称滤波器时间函数、脉冲响应函数）$h(t)$都具有截频$f_c$，且$\Delta <1/2f_c$.
   此时在待考察区间内，$X(f)=X_{\Delta }(f),H(f)=H_{\Delta }(f)$，等等。故可以这么做。
1. Q: 对离散信号情况，考察类似上一节1.的公式及其推论。
   A: 待考察的公式是：${\int }_{-1/2\Delta }^{1/2\Delta }{X}_{\Delta }(f)\Delta {\sum }_{m}h(m\Delta )e^{-i2\pi mf\Delta }{e}^{i2\pi nf\Delta }df$. 推论即$y(n\Delta )=x(n\Delta )\ast h(n\Delta )=\Delta \sum h(m\Delta )x((n-m)\Delta ),Y_{\Delta }(f)=X_{\Delta }(f)H_{\Delta }(f)$.
   注：上式得到的是$y(n\Delta )$，而不是傅里叶展开的第$n$项系数。后者是前者的$\Delta$倍。实际上，我们也可以考察傅里叶展开系数，即$\Delta y(n\Delta )=\sum \Delta h(m\Delta )\Delta x((n-m)\Delta )$. 这种考察方式更容易记忆，也就是每一个$y(\cdot ),x(\cdot ),h(\cdot )$都要乘以$\Delta$.
   注：此处由于积分限$[-1/2\Delta ,1/2\Delta ]$，所以$X_{\Delta }(f)$其实也是某个一般（非奇异）连续信号的频谱。故这个公式中体现的离散卷积其实可以看成一个奇异信号和另一个一般连续信号的卷积，是连续卷积的特殊情况。（回忆这里的用卷积考察抽样定理的题1.）
2. Q: 画图展现实际应用中对两有限长序列作卷积，并指出可能存在的实际问题。
   A: 考虑两线段AB（左边是A）和CD（左边是C），把CD折过来变成DC，然后C对齐A，接着不断向右平移，直至D对齐B为止。
   注意，在此过程中，不妨设CD线段较短，我们发现开头和结尾的若干步中会出现DC线段不被AB完全覆盖的情况，这时可能导致边缘效应等。（即：那些DC没有被AB覆盖到的地方，你怎么办？补零？周期延拓？）

3.3 信号的能谱与能量等式，功率谱与平均功率等式

0. Q: 对于信号相乘积分公式，$\int x(t)y(t)dt=\int X(-f)Y(f)df$和$\int x(t)\bar{y}(t)dt=\int X(f)\bar{Y}(f)df$的推导有什么异同？
   A: 相同点：都是用傅里叶变换的一个方向搞出$e^{-\cdots }$因子，再用另一个方向把这个因子“去掉”。
   不同点：由于傅里叶正负变换相差负号，所以这里需要一定调整才能直接用“另一个方向去掉因子”。具体地，前者是直接变号，后者是利用共轭把$e^{-\cdots }$变成$e^{+\cdots }$. 后者在处理实信号时更加方便。
1. Q: 对于0.，考察两个相同的信号$x(t)$有何结论？
   A: 对于0.中第二式，有${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt=\int |X(f){|}^{2}df$.
   此处$|X(f){|}^2$称为$x(t)$的能谱。（思考：回忆振幅谱）
2. Q: （连续）功率谱和能谱的表达式有何异同？
   A: （相比能谱）为了考察总能量为无限的连续信号$x(t)$，我们先针对一段（有限）时间考察连续功率谱。假设$x(t)$乘某个方波后为$y(t)$，则
   $Y(f)={\int }_{T_1}^{T_2}x(t)e^{-i2\pi ft}dt,|Y(f){|}^2=\cdots$，刚刚的$|Y(f){|}^2$再除以$T_2-T_1$就是我们想要的功率谱表达式。
   功率谱表达式实际上就是人为划定时间范围后，通过与求能谱表达式相同的方法，给出了不同频率对于某一确定范围内能量的平均贡献。
   当然，为了考察整个实轴，只需$li{m}_{T\to \infty }{\int }_{-T}^T$即可。
3. Q: 类似上一节1.，考察离散的能量谱表达式中外面的系数$\Delta$。
   A: 提示：$\sum \Delta x(n\Delta )\Delta y(n\Delta )=\sum \Delta x(n\Delta )\Delta {\int }_{-1/2\Delta }^{1/2\Delta }{Y}_{\Delta }(f)e^{i2\pi fn\Delta }df$
   $=\Delta \sum \int \Delta \bar{x}(n\Delta )e^{i2\pi fn\Delta }{Y}_{\Delta }(f)df$
   $=\Delta \sum \int \overline{\Delta x(n\Delta )e^{-i2\pi fn\Delta }}{Y}_{\Delta }(f)df$
   $=\Delta \int {\bar{X}}_{\Delta }(f)Y_{\Delta }(f)df$
   当然同理$=\Delta \int X_{\Delta }(f){\bar{Y}}_{\Delta }(f)df$
   即$x,y,总能量$都乘以$\Delta$.
   这里跟上节1.的卷积当然有类似之处。
   能量是“同向”，卷积是“反向”而已。具体细节，比如多了$\Delta$系数，比如“$x,y,结果$都乘以$\Delta$”都是相同的。
   注：另一种记忆方法：直接记忆能量的原始表达式$\Delta \sum |x(n\Delta ){|}^2$类似于“黎曼和”一样增加了$\Delta$系数。这也很好记。
4. Q: 对于离散情况的功率，为什么不除以$2N+1$，而是$(2N+1)\Delta$？
   A: 因为$\Delta$是有实际物理意义的，表示间隔，$(2N+1)\Delta$才是实际有物理意义的时间长度。平均功率和功率谱的表达式都如此。

3.4 离散信号与频谱的简化表示

0. Q: 直接默写形式记号$X_{\Delta }(f),X(f),X(\omega )$的含义。
   A:
   $X_{\Delta }(f)=\Delta \sum x(n\Delta )e^{-i2\pi fn\Delta }$（当然，我们形式上记$x(n\Delta )=x(n)$）
   $X(f)=\sum x(n)e^{-i2\pi fn\Delta }$
   $X(\omega )=\sum x(n)e^{-in\omega }$
   注：引入角频率其实可以为频谱的离散化铺垫。
   注：按记号$X(f),X(\omega )$这样的话，$g(n)=x(n)\ast h(n)=\sum h(m)x(n-m)$前面没有系数，$G(\omega )=X(\omega )H(\omega )$也没有系数，这很好记。
   不妨和3.2节的1.对比理解：本节这种记号，相比3.2节，$x,h$含义不变，$g$含义则是之前的$y$的$1/\Delta$倍，故：
   $y=\Delta \sum \cdots =\Delta g,Y_{\Delta }=\Delta G_{\Delta }$
   $\Delta G_{\Delta }=Y_{\Delta }=H_{\Delta }{X}_{\Delta }\Rightarrow {\Delta }^{2}G={\Delta }^{2}HX\Rightarrow G=HX$
   不过总之，这些都是一些琐碎的记号，不用过于关注。

3.5 离散信号的Z变换

0. Q: 解释“$Z$变换是一个复变函数”。
   A: 所谓$Z$变换，是把$X(f)$中的$e^{-i2\pi \Delta f}=e^{-i\omega }$换元为$Z$得到的关于$Z$的函数$X(Z)$.
   注意这里的记号是通过括号内的字母区分的，这并不是一般数学书籍中习惯用法，故可能引起迷惑。比如：在$X(f)$中代入$f=1$与在$X(Z)$中代入$Z=1$，结果显然不同！
   可以看到这里的$Z$取值可能是一系列模长为1的复数，$X(Z)$当然就是复变函数。我们要求$X(Z)$在包含单位圆的圆环内解析，具体内容见后。
1. Q: 课本上考虑的褶积、翻转、相关的$Z$变换中，$x_n,y_n$等是什么意思？多项式乘法和褶积有何关系？
   A: 就是以前考察的$\Delta x(n\Delta ),\Delta y(n\Delta )$等。（傅里叶展开的第$n$项系数）
   多项式乘法和褶积的关系可以从褶积的$Z$变换中直接看出（即把$Z$变换看成定义在复数域上多项式）
   更具体地：$(x^2+2x+3)(4x^2+5x+6)=4x^4+(1\times 5+2\times 4)x^3+\cdots$
2. Q: 用卷积考察时移：$Z^{t}X(Z)$对应的信号是（）。
   A: $x_{n-t}$
   注：对$t=1$举例：$x_n\ast \delta (n-1)=\sum x_m\delta (n-1-m)=x_{n-1}$.
   其中$\delta (n-1)$就是只在1处有非零值的信号，其$Z$变换为$Z$.
3. Q: 课本中$Z$变换的唯一性是通过离散序列和频谱的一一对应说明的（参考第2期奇异函数练习1.），也就是把（）代入$x_n=\Delta {\int }_{f=-1/2\Delta }^{f=1/2\Delta }X(Z)Z^{-n}df$，得到$c_n=x_n$，或说同样的$Z$变换对应了同样的离散序列。
   根据此唯一性，只要知道Z变换幂级数展开式，就能直接写出离散序列$x_n$的展开式，例如$Z$变换是$Z-\alpha$时，其对应序列是（）。
   A: $X(Z)=\sum c_n{Z}^n$，$x_n=(x_0,x_1)=(-\alpha ,1)$.
   注：这种情况下写出的离散序列常常可以用$x_n=(x_0,x_1,x_2)=(1,2,3)$这种简单写法表示。
4. Q: 积分$x_n=\Delta {\int }_{f=-1/2\Delta }^{f=1/2\Delta }X(Z)Z^{-n}df$中，$f$在实轴上移动，则$Z$在单位圆上移动，这是柯西积分嘛？
   A: 这里是$df$而不是$dZ$，所以并不是柯西积分
5. Q: 为什么对于$1/(Z-\alpha )$，要讨论$\alpha$和1的关系？
   A: 回忆我们要求复变函数$X(Z)$在圆环附近收敛。所以要选择合适的（收敛的）那个等比级数。
   当然，如果$\alpha =1$，则圆环上出现极点，就无法得出有意义的序列了。（退而求其次：考虑$\alpha \to 1_{+}$或者$1_{-}$倒是可以考察极限情况）
6. Q: 离散信号时移和滤波有什么联系？用此思路考察连续信号呢？
   A: 滤波其实是多个不同平移量的时移（多次“响应”）的线性组合。
   对于连续情况，只是可能“连续化”变成无穷个而已。比如对于$x(t)\ast (\delta (t)+\delta (t-1))$，你可以认为是$x(t)$被“响应了2次”，也可以认为是$\delta (t),\delta (t-1)$各自被响应了无穷次，每次无穷小，然后积分。一般的$x(t)\ast h(t)$也可以用“响应无穷次”的思想考察。
7. Q: 用时移和滤波阐释“平滑”去除噪声。
   A: 比如连续取$k$个点取平均作平滑，实际上就是用数个时移线性组合。也可以说成“滤除高频噪声”。
   此处相当于“多次取平均”，认为信号在一定时间范围内“连续稳定”，噪声在一定时间范围内高频波动，从而信号和噪声都被平滑，但是噪声被平滑得更多，信噪比提高！
   拓展：平滑和锐化结合：先高斯，再拉普拉斯，就相当于先“局部平均值”这样平滑，之后再锐化。这个所谓“局部”的尺度是用户自己控制的。（直观：“墨西哥帽”形状。卷积核有正有负）

3.6 作为罗朗级数的Z变换

0. Q: 简要解释“关于收敛半径的讨论，和实幂级数相仿”
   A: 核心是根值判别法$1/\rho =\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}$. 考察过程中只用到了数的模长、三角不等式等性质（“赋范空间”），所以复数和实数并无本质区别。
1. Q: 根据$(\sum x(n)Z^n{)}^{\prime }=\sum nx(n)Z^{n-1}$，直接说出$nx(n)$的$Z$变换以及$X^{\prime }(Z)$对应的信号。
   A: Z变换：$Z{X}^{\prime }(Z)$
   对应信号：$(n+1)x(n+1)$（由于$\sum nx(n)Z^{n-1}=\sum (n+1)x(n+1)Z^n$）
2. Q: “信号处理中，函数的形式大多是有理函数”，举例说明实际应用中有理函数的作用。
   因为上句，所以求展开系数往往不需要复杂的柯西型积分，而是直接通过（）和（）就可以计算。
   A: 例如简单的反馈系统$Y(f)=X(f)H_1(f)+Y(f)H_2(f)H_1(f)$.
   再例如由于方波不连续，性质不好，而通过某些有理函数逼近方波等。
   注：考察反馈系统中$Y(f)/X(f)=Q(f)$，实际工程中一般做法就是把$x(t)$先变换到频域，然后乘以有理函数$Q$，再变回去。
   括号填：有理函数分解，等比级数。
3. Q: 说Z变换一一对应离散信号需要强调什么？举例说明。
   A: 解析区域包括单位圆（回忆Z变换换元时Z的含义！）
   举例：$u(n)$没有一般意义下的Z变换。（单位圆处有极点）
   举例：对于有多个不同收敛圆环（盘）的Z变换，一般取包含单位圆的那个，构造对应序列。

习题

0. Q: 之前说过平移对称性（时不变）和卷积直接相关，那“线性”又和卷积有何关联呢？
   A: 其实非线性也可以“卷”，比如${\sum }_{m}F(x(m),y(n-m))$，$F$是一般的函数，这还是能体现卷的本质。
   但是“积”和线性就直接相关了。
1. Q: 用方波乘积可以考察（）卷积，而卷积运算中一个信号反过来就是（）运算，进一步即可考察正交系。
   A: $sinc$，相关
2. Q: 如何处理频谱中的三角多项式？
   A: 用Z变换表示三角函数。
3. Q: 对于$x(n),y(n),X(\omega ),Y(\omega ),g(n)=x(n)y(n)$，考察$G(\omega )$.
   此处手法和3.2相同，即把$x(n)$变为连续信号$s(n):=\sum x(m)sinc(n-m)$，再和离散信号$y(n)$进行类似3.2的考察。
   积的频谱限制在$[-1/2,1/2]$范围，为
   $\sum s(n)y(n)e^{-i2\pi nf}=\sum s(n){\int }_{-1/2}^{1/2}Y(g)e^{i2\pi gn}dg{e}^{-i2\pi nf}$
   $=\int \sum s(n)Y(g)e^{i2\pi n(g-f)}dg=\int S(f-g)Y(g)dg$.
   其中$S(f)$为（）。
   之后怎么改为用$\omega$表示？
   A: 限制在$[-1/2,1/2]$的$X(f)$
   为了防止混淆，引入记号$X_f,Y_f,X_{\omega },Y_{\omega }$等，则$G_{\omega }(\omega )=G_f(f){|}_{f=\omega /2\pi }={\int }_{-1/2}^{1/2}{Y}_f(\omega /2\pi -g)X_f(g)dg$
   $={\int }_{-1/2}^{1/2}{Y}_{\omega }(\omega -2\pi g)X_{\omega }(2\pi g)d2\pi g/2\pi ={\int }_{-\pi }^{\pi }{Y}_{\omega }(\omega -\lambda )X_{\omega }(\lambda )d\lambda /2\pi$