数字信号处理学习笔记[2] 奇异函数练习 重抽样 恢复连续信号 假频

2 离散信号和抽样定理

奇异函数练习

0. Q: 直接根据狄拉克函数的定义证明筛选性质。
   A: 提示：${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)f(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)f(0)dx(因为其它点\delta (x)=0)$
   $=f(0){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=f(0)$
1. Q: 证明傅里叶展开的一一对应关系。
   A: 提示：在第0期已经证明过一侧，即：
   $c_m=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi m{f}_{0}t}dt$ (1)
   $x(t)=\sum d_n{e}^{i2\pi n{f}_{0}t}$ (2)
   中把(2)代入(1)右侧，得到$d_n=c_n,\forall n$.
   现在只要证明另一侧，即
   $c_n=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}y(t)e^{-i2\pi n{f}_{0}t}dt$ (1)
   $x(s)=\sum c_n{e}^{i2\pi n{f}_{0}s}$ (2)
   中把(1)代入(2)右侧，
   $x(s)=\sum \frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}y(t)e^{-i2\pi n{f}_{0}t}dt{e}^{i2\pi n{f}_{0}s}$
   $=\frac{1}{T}\int y(t)\sum e^{i2\pi n{f}_0(s-t)}dt$
   $=(回忆奇异函数\delta (x)级数展开各项系数全为\frac{1}{T})\int y(t)\delta (s-t)dt$
   $=y(s)$
   就证明了正逆变换都是双射
   （注：此处的双射需要附加连续等条件，但我们不做进一步细化了）。
2. Q: 证明傅里叶变换的一一对应关系。
   A: 正逆两个方向完全类似，我们只证一侧的“唯一”关系，省略另一侧。即
   $X(f)=\int y(t)e^{-i2\pi ft}dt,x(s)=\int X(f)e^{i2\pi fs}df$
   用一者代入另一者得
   $x(s)=\iint y(t)e^{i2\pi f(s-t)}dtdf=\iint y(t)e^{i2\pi f(s-t)}dfdt$
   $=\int \delta (s-t)y(t)dt(依据：\delta 和1互为傅里叶变换对)=y(s)$
   从而同样的频谱对应同样的信号（频谱唯一决定信号）。
3. Q: 证明形式上的表达式$Comb(\Delta f)={\sum }_n{e}^{i2\pi n\Delta f}$.
   A: $\Delta {\int }_{-1/2\Delta }^{1/2\Delta }Comb(\Delta f)e^{2\pi i\Delta f}df=1$（各$n$积分结果都是1），这说明$Comb(\Delta f)$作为周期函数，其傅里叶展开为${\sum }_n{e}^{i2\pi n\Delta f}$（各$n$系数都是1），进一步还说明$Comb(\Delta f)$和$\frac{1}{\Delta }Comb(\frac{t}{\Delta })$（各$n$奇异点附近积分面积都是1）是傅里叶变换对。
   （回忆上一篇中的“用卷积考察抽样定理”）
4. Q: 1.和3.中都出现了${\sum }_n{e}^{i2\pi n\Delta f}$，为什么一个变成了梳状函数，一个变成了$\delta$函数？
   A: 说白了这只是人为约定。

• 1.中考察有限区间上傅里叶展开时把其余区间上函数值设为0，反正积分时也轮不到这些区域，没有影响。
  考察有限区间上傅里叶展开时，系数全为$1/T$对应的信号是$\delta$函数，只有0处系数为1对应的信号是方波，等等。
• 而3.中考察的是周期信号的傅里叶变换，这时习惯写出整个$\mathbb{R}$上定义的函数（即使是周期函数，也并不只截取一个周期）。
  考察周期信号的傅里叶变换时，系数全为$1/T$对应的信号是梳状函数，只有0处系数为1对应的信号是常量，等等。
• 不过有限区间上傅里叶展开和周期函数的傅里叶变换其实表达同样的本质。

2.4 离散信号的频谱和抽样定理

重抽样

0. Q: 对于课本上重抽样定理表达式$X_{{\Delta }_1}(f)={\sum }_n\tilde{X}(f+n/{\Delta }_1)$，其中的$\tilde{X}$是什么意思？为什么不是$X_{\Delta }(f+n/{\Delta }_1)$呢？
   A: 由原始的$x(n\Delta )$重建的连续信号。
   回忆上一篇，我们知道抽样实际上要么看作输入连续信号，输出奇异信号。要么看作输入连续信号，输出离散信号。不能输入离散信号输出离散信号（“类型不匹配”），而输入奇异信号显然也是不合理的（导致在奇异基础之上更加奇异，意义不明！）。
   总之，所谓的重抽样并不是对离散信号直接抽样，而是先重建出连续信号（带限），再抽样。此处直接使用上一篇中“抽样定理2”即得到频谱！
1. Q: 画图表示对于整数$m$有$X_{{\Delta }_1}(f)={\sum }_{l=0}^{m-1}{X}_{\Delta }(f+l/m\Delta )$，其中${\Delta }_1=m\Delta$.
   A: 注意对于此处，考察频谱的范围是$[-1/2{\Delta }_1,1/2{\Delta }_1]$. 并注意离散信号频谱$X_{\Delta }$是周期的，相比之下$\tilde{X}$频谱是带限的。结合0.即可画出。
2. Q: 如何构造加密重抽样得到的信号$x(n{\Delta }_1)=x(n\Delta /m)$，使得新信号频谱满足$X_{{\Delta }_1}(f)=X_{\Delta }(f),|f|\le 1/2\Delta ;X_{{\Delta }_1}(f)=0,1/2\Delta <|f|\le 1/2{\Delta }_1$？
   A: 首先，构造连续信号${\sum }_{n}x(n\Delta )sinc(\frac{t}{\Delta }-n)$，其频谱为带限，截频外为0.
   下一步，为了在频域作周期为$1/{\Delta }_1$的周期重现，只需在频域卷积梳状函数${\Delta }_{1}Comb({\Delta }_{1}f)$，也就是在时域乘以$Comb(t/{\Delta }_1)$，得到${\sum }_{n}x(n\Delta )sinc(t/\Delta -n)Comb(t/{\Delta }_1)$.
   回忆梳状函数和抽样的联系，上述奇异信号就对应离散信号$x(n{\Delta }_1)={\sum }_{k}x(k\Delta )sinc(n{\Delta }_1/\Delta -k)$. 这就是加密重抽样得到的信号。
3. Q: 为什么说重抽样定理在工程上的意义有限呢？
   A: 来自课堂，仅供参考。
   工程上往往并不用考虑太复杂，一般从密变疏就直接隔$m$个取一个点，从疏变密就使用各种插值。
   特别对于加密重抽样，考察刚刚叙述的过程，我们知道如果本来就采样不够，混叠严重，那么按这种方式加密也是没有用的。只有本来就采样足够或者过多，加密之后结果才合理（但这时候又有什么加密的必要呢？）。
4. Q: 工程实际中如何超分辨率？举一例子。
   A: 扔统计数据（先验？后验？）帮忙。
   扔多张低分辨率的给它。
   换个波长。
   多成像模态。
   $F\cdot cos2\pi f_{0}t$（“条纹”）把高频移进低通滤波区域，拍到原来拍不到的频段，然后多个channel重建。如实际中可以用9张这种1K的重建1张2K.

2.5 由离散信号恢复连续信号的问题

0. Q: 对于由离散信号恢复连续信号的一般表达式$\tilde{x}(t)=\sum x(n\Delta )g(t-n\Delta ),\tilde{X}(f)=\frac{1}{\Delta }{X}_{\Delta }(f)G(f)$. 请分别：
   尝试将其泛化到一般的“时域卷积等价于频域相乘”。
   尝试将其窄化到之前的抽样定理。
   A:
   泛化：取$x_1(t)=Comb(t/\Delta )x(t)/\Delta ,x_2(t)=g(t)$，则$X_1(f)=X_{\Delta }(f)/\Delta ,X_2(f)=G(f)$
   $\tilde{x}(t)=x_1(t)\ast x_2(t),\tilde{X}(f)=\frac{1}{\Delta }{X}_{\Delta }(f)G(f).$ 这就说明了原表达式是“时域卷积等价于频域相乘”特例。
   窄化：直接取$g(t)=sinc(t/\Delta )$，则$G(f)/\Delta =rec(\Delta f)$，则$\tilde{X}(f)$恰为带限信号。
1. Q: 接上，如果要求对于任何离散信号，按上述方式恢复出的连续信号都在原来有的采样点处（即$\Delta$整数倍处）不改变值，那么对$g$有何要求？
   A: 在0处为1，其余整数点处值都为0. 这样一来，$\tilde{x}(t)$的无穷多项中（在$t$取$\Delta$的整数倍时）才会有且仅有正确的那一项做出贡献。
   形式化证明可以由考察特殊的离散信号（离散狄拉克$\delta$函数）得到必要性，再直接证明充分性。
2. Q: $g(t)$如果取成三角波，那么有什么有意思的地方呢？
   A: 想象$t$从一个整数倍$\Delta$移动到下一个整数倍$\Delta$，可以看出$\tilde{x}(t)$实际上是线性分段函数（即线性插值）。

2.6 抽样与假频，抽样或重抽样的注意事项

0. Q: 解释假频、假频谱、假频现象、去假频。
   A: 提示：假频是高频超出的那些部分（无论抽样还是重抽样，只要间隔不够小，都可能出现），去假频就是把它们滤掉。这些假频混叠到低频部分就导致假频谱产生，或称“发生假频现象”。
1. Q: 如果对于待抽样信号性质没有任何先验知识（即不认为任何部分信号是“干扰信号”），那么如何抽样？如果知道有高频“干扰信号”呢？
   A:
   第一种：换不同采样间隔尝试抽样，对不同间隔得到的抽样结果作频谱分析（具体分析方法略，核心就是大间隔相比小间隔如果频谱差别太大就说明间隔太大了），多就减少就加，直到分析出合适的间隔。
   第二种：滤波去假频再以已知的有效信号频段为参考采样。
   注：当确认了采样间隔没有问题之后，可以脱离具体的物理含义而令间隔为单位1，这使得后面的处理更加简便，最显然的就是各种公式好记。
2. Q: 如果直接作重抽样后发生了明显的假频现象，说明按此采样间隔作重抽样一定就不合理吗？
   A: 否。可能有效频段确实在范围内，那些假频全是干扰信号（如地震波等）。那么这就不是重抽样间隔不合理的问题，而是忘了滤除假频。

习题

0. Q: 信号的偶信号等于自身是什么意思？
   A: 任何实信号可唯一分解成一个偶信号+一个奇信号。偶信号等于自身，即等价于自身是偶信号。