现研究一连续信号进行抽样转换为数字信号,经数字信号处理器(DSP
)或计算机处理后,再进行重建的过程,具体过程如下:
其中采样/保持电路和A/D
转换电路可以看做是一个理想抽样的过程,而D/A
转换和平滑录播可以看做是一个理想内插的过程。
假设理想抽样信号为
n=−∞∑∞δ(t−nTs)
其中
Ts为抽样的周期。那么模拟信号
xa(t)经理想抽样后得到的抽样信号
x^a(t)为
x^a(t)=xa(t)⋅n=−∞∑∞δ(t−nTs)
设信号
xa(t)的傅里叶变换为
Xa(jΩ),并且其最高频率为
Ωm,现研究抽样信号
x^a(t)的傅里叶变换。
X^a(jΩ)=F[x^a(t)]=F[xa(t)⋅n=−∞∑∞δ(t−nTs)]=2π1X(jΩ)∗Ts2πn=−∞∑∞δ(Ω−nΩs)=Ts1n=−∞∑∞X(j(Ω−nΩs))
其中
Ωs=Ts2π。
从上式中就可以看出抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓。
要保证频谱在周期延拓时不发生混叠,那么就要求
Ωs−Ωm≥Ωm⇒Ωs≥2Ωm
把
Ωs=2Ωm称为奈奎斯特采样频率,这是频谱不发生混叠允许的最小采样频率,此时可以通过一低通滤波器将信号恢复出来,若频谱发生了混叠,则很难将信号重建出来。
考虑信号的重建,由频谱图可知,通过一低通滤波器即可将信号完全的恢复出来,假设以频率
Ωs>2Ωm进行抽样,考虑这么一个低通滤波器:
其傅里叶反变换为
hLP(t)=sinc(Tst)
其中
sinc(t)=πtsin(πt)
由频谱关系知
X(jΩ)=X^a(jΩ)⋅HLP(jΩ)
所以
xa(t)=x^a(t)∗hLP(t)=xa(t)⋅n=−∞∑∞δ(t−nTs)∗hLP(t)=n=−∞∑∞xa(nTs)δ(t−nTs)∗sinc(Tst)=n=−∞∑∞xa(nTs)sinc(Ts1(t−nTs))
这就是信号的重建,这个过程也被称为理想内插过程。