基础知识回顾
连续时间周期信号(周期为T)的傅里叶级数展开
傅里叶复系数,基波频率
连续时间非周期信号的傅里叶变换对
1、周期矩形脉冲信号的指数形式傅里叶级数
% 计算并画出周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱。
clc;clear;close all
A = 1; % 幅度
tau = 0.1; % 脉冲宽度
T = 0.5; % 周期
Omega_0 = 2*pi/T; % 基波频率 Ω0
K = 2*pi/tau/Omega_0;
k = 0 : 2*K;
F_k = A*tau/T*sinc(k*Omega_0*tau/2/pi); % 系数F_k
F_k_mag=abs(F_k); % F_k的幅度
F_k_phase = angle(F_k); % F_k的相位
k= -2*K : 2*K;
F_k_mag = [fliplr(F_k_mag(2:end)) F_k_mag]; % fliplr:左右翻转矩阵
F_k_phase = [ -fliplr(F_k_phase(2:end)) F_k_phase];
subplot(2,1,1)
stem(k*Omega_0, F_k_mag);
xlabel('k \Omega_o');
ylabel('magnitude');
grid
subplot(2,1,2)
stem(k*Omega_0, F_k_phase);
xlabel('k \Omega_o ');
ylabel('phase');
grid
T = 0.5 时周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱
当周期参数 T增大时:
T = 0.5 时周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱
T = 0.5 时周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱
2、周期矩形脉冲信号的各次谐波的叠加
周期矩形脉冲信号:
三角形式傅里叶级数:, 其中
前N次谐波进行叠加,得到。
% 来计算画出前N次谐波叠加得到的周期矩形脉冲信号近似波形。
clc;clear;close all
t = -2 : 10^(-4) : 2;
A = 1;
tau = 1; % 脉冲宽度
T = 2; % 周期
Omega_0 = 2*pi/T; %基波频率
c0 = A*tau/T;
N = input('N=');
f_N = c0 * ones(1,length(t)); %f_N(t)
for k= 1 : 1 : N
f_N = f_N + 2*A*tau/T *sinc(k*Omega_0*tau/ 2/pi) *cos(k*Omega_0*t);
end
plot(t, f_N);
xlabel('t');
ylabel('f_N(t)');
title(['N=',num2str(N)])
axis([-2 2 -0.2 1.2]);
N=25 的图
N=50 的图
N=1000 的图
由图观察可知:随着N的增大,合成波形越来越接近原有的矩形脉冲信号。
吉布斯现象:
将具有不连续点的周期函数(如矩形脉冲
)
进行傅立叶级数展开后, 选取有限项进行合成。当选取的项数越多,在所合成的波形中出现 的峰值越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时,该峰值趋于一个常数,这就称作吉布斯现象(又名吉布斯效应)。