信号完整性分析2——时域与频域

信号完整性分析2——时域与频域

Date:2020/06/07

2.1 时域

定义： 时域就是真实世界，是唯一实际存在的域
$$F_{clock}=\frac{1}{T_{clock}}$$

其中：

$F_{clock}$是时钟频率，单位为GHz.

$T_{clock}$是时钟周期，单位为ns.

根据逻辑系列可知，下降时间通常比上升时间短一些（由典型CMOS输出驱动器的设计造成的）

2.2 频域中的正弦波

• 时域是唯一一个实际存在的域。其余的域例如频域，小波等，都是一种对时域的数学上的抽象，而并没有实际存在。但是从频域的角度来分析问题，却能够提供一种新的便于理解的思路和解决办法。

• 正弦波是频域唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述

• 正弦波具有四个性质使其能够胜任本工作:

  • 任何波形都能够用正弦波的组合完全且唯一的描述

  • 任何两个频率不同的正弦波是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为0，这说明可以将不用的频率分量相互分离开。

  • 其有精确的数学定义

  • 正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。现实世界是无穷的，因此可用正弦波来描述现实中的波形。

  正弦波不是独有这些性质的，有一类函数称为标准正交函数，有有时也叫做本征函数或基本函数，这类函数可以用来描述任何时域波形，。除正弦波之外的其他标准正交函数有：埃尔米特多项式(Hermite Polynomials) 、勒让德多项式(Legendte
  Polynomials) 、拉格朗日多项式(Laguerre Polynomials) 和贝塞尔函数(Bessel Function)

• 为什么选择正弦波？

  理想RLC电路。电路筒仓包括电阻、电感和电容的组合。电路中这些元件可以用二阶微分方程来描述，这类微分方程的解就是正弦波。在这类电路中，实际上产生的波形就是由上述微分方程的解所对应的波形组合而成的。

2.3 频域中解决问题的捷径

• 虽然频域相对于时域，包含的信息是相同的，频域不能产生新的信息，但是有些问题从频域的角度去理解往往会更容易一些。

2.4 正弦波特征

• 一个正弦函数，需要三个参数就能准确描述，分别是：幅值、频率、相位

• 一般来说在信号中我们暂时忽略相位，因此我们常常只用幅值和频率组成的频谱图来表示一个波形。

频域中，对波形的描述变为不同正弦波频率值的集合。每一个频率分量都有相关的幅度及相位把所有这些频率值及其幅度值的集合称为波形的频谱

2.5 傅里叶变换

工业中常常会同时使用到 FI , DFT 和 FFT 这二种方法。现在我们知道这三种算法之间是有区别的，但同时它们又有着同样的用途——将时域波形变换成频域频谱。

• 傅里叶积分（FI）

  傅里叶积分(FI) 是一种将时域的理想数学表示变换成频域描述的数学技术。例如，若时域中的整个波形只是一个短脉冲，就可以用傅里叶积分将它变换到频域中去。傅里叶积分是在整个时间轴上从负无穷大到正无穷大做积分，得到的结果是零频率到正无穷大频率上连续的频域函数。在这个区间上，每个连续的频率值都对应一个幅值。

• 离散傅里叶变换（DFT)

  使用离散傅里叶变换(DFT) 可以将这个波形变换到频域中。其中基本的假设就是原始的时域波形是周期的，每隔T 秒重复一次。不像积分，此处仅使用到求和，通过简单的数学方法就可以将任意一组数据变换到频域中。

• 快速傅里叶变换（FFT）

  除了计算每一个频率点的幅度值的实际算法使用了快速矩阵代数学的技巧之外，它与离散傅里叶变换是完全一样的。这种快值算法只应用于时域中的数据点个数是2 的幕数的情况，如256 点， 512 点或1024 点。根据所计算电压点个数的多少，快速傅里叶变换的计算速度比普通的离散傅里叶变换可以快100 到10000 倍。

2.6 重复信号的频谱

• 实际上，DFT 或 FFT 是用来将实际波形从时域变换到频域的。对测量得到的任意波形都可以使用DFT，关键条件就是该波形应是重复件的，通常用大写字母F 表示时域波形的重复频率。

• 例如，一个理想方波可能是从0V 到1V, 其重复周期是$1ns$, 且占空比为$50$ 。由于是理想方波，所以从$0V$ 跳变到$1V$ 的上升时间应为0 秒，重复频率就应是$1/1ns=1GHz$ 。

• 在时域中，如果一个信号在时间间隔$t=0$到$t=T$内是一些任意的波形，则就不能看成是重复性的。然而，将信号以$T$为周期进行沿拓，司以把它变成重复信号。在这种情况下，重复频率就应是$F=1/T$。这样，任何一个波形都可以变为重复波形，并且可用D百将其变换到频域中去.

2.7 理想方波的频谱

理想方波是对称的，其占空比是50%, 并且峰值为1V

如果理想方波的重复频率为1GHz, 那么其频谱中的正弦波频率就是1GHz 的整倍数。

• 所有偶次谐波（如$2GHz,4GHz,6GHz$) 的幅度都为0. 只存在奇次谐波的值。奇次谐波的幅度$A_n$
  $$A_n=\frac{2}{\pi \times n}$$
  $A_n$ ：n次谐波的幅度

  $n$ ：谐波数，为奇数

  • 频率分量提高时，其幅度随着1/f 的减小而减小。
  • 如果理想方波的电压跳变范围增加为原来的两倍，即从0V 到 2V, 那么各次谐波的幅度也加倍。
  • 特殊的频率值： 0Hz。因为正弦波的均值为0, 任何正弦波的组合也只能描述时域中均值为0 的波形。如果给出一个直流偏移，即非零均值，那么直流分量就存储在零频率值中。这有时也称为零次谐波，其幅度与信号的均值相等。在方波占空比为50% 的情况下，零次谐波幅度为0.5V

• 归纳如下：

  • 正弦波频率分量及其幅度的集合称为频谱，每一分旦称为谐波；
  • 零次谐波就是直流分量值；
  • 对于理想方波占空比为50% 这一特殊情况，偶次谐波的幅度为0;
  • 任何谐波的幅度都可由2/ (nπ）计算得出。

2.8 从频域到时域

频域中的频谱表示的是时域波形包含的所有正弦波频率的幅度。如果我们知道频谱，要想观察它的时域波形，只需将每个频率分量变换成它的时域正弦波，再将其全部叠加即可。这个过程称为傅里叶逆变换。

频域中的每个分量都是时域中定义在 $t=-\infty$ 到 $+\infty$ 上的正弦波。为了重新生成时域波形，可以提取出频谱中描述的所有正弦波，并在时域中的每个时间间隔点处把它们叠加。从低频端开始，把频谱中的各次谐波叠加，就可得到时域中的波形。

2.9 带宽对上升时间的影响

• 带宽用来表示频谱中有效的最高正弦波频率分量，为了充分近似时域波形的特征，这是需要包含的最高正弦波频率，所有高于带宽的频率分量都可忽略不计。值得注意的是，带宽的选择对时域波形的最短上升时间有直接的影响。

• 带宽这个概念本身就是一个近似。它实际上是个经验法则，只是粗略地确定了实际波形中频率分量的幅度从哪一者，开始比理想方波下降得快。

  如果在某个问题中，波形的带宽是900MHz 还是950MHz 非常重要，则就不要使用带宽这个术语，而是应该看看整个频谱图。完整的频谱图才是对时域波形的精确表示。

• 以理想方波的频谱为基准，每种情况下生成的波形的带宽越来越高。并且，波形的带宽值越大， 10-90 上升时间就越短。上升时间越短，与理想方波的波形就越接近。同理，若降低信号的带宽（如删除高频分量），则其上升时间会变长。

• 一般来说，时域中上升时间越短的波形在频域中的带宽越高。如果改变频谱使波形的带宽降低，那么波形的上升时间就会随之增加。

2.10 带宽及上升时间

如果已知每个波形测量得到的10-90上升时间和带宽，凭经验可以画出一个简单的关系式。

对于重新生成的方波中只包含一些较高次谐波这种特殊情况，带宽与上升时间的倒数有关。可以通过一些点画出一条直线去近似，以找出带宽与上升时间的关系：
$$BW=\frac{0.35}{RT}$$
其中：
$BW$ 表示带宽，单位为$GHz$
$RT$ 表示10%~90%上升时间，单位为$ns$

例如，若信号的上升时间为1ns，则带宽约为350MHz。

对于其他波形，如高斯或指数边沿的波形，也可以用另外一些方法得到这样的关系式。对于方波，采用的纯粹是实验途径，没有做任何假设。用这一经验公式所表示的是一个非常有用的经验法则。

2.11 "有效的“含义

将信号的带宽定义为有效的最高正弦波频率分量。

• 理想方波的频谱中的频率分量可延伸到尤穷大，要想得到零上升时间的理想方波，每个分债都是必需的，而且是有效的。

• 对于实际的时域波形，随着频率的升高，其谱分量的幅度总是比理想方波中相同频率的幅度下降得快。有效性问题其实就是一个频率点的问题，高于该点的谐波分量的幅度比理想方波中相应频率分量的幅度要小。

• 所谓“小”，通常指的是该分最的功率要小于理想方波中相应频率分量幅度功率的50%,功率下降50% 也就是幅度下降至70%, 这才是有效性的真正定义。若幅度高于理想方波中相同谐波幅度的70% 以上，则称之为有效。

  对于上升时间有限的任何波形，有效指的是信号的谐波幅度高于相同频率的理想方波中相应谐波幅度的70% 时的那一点

从另一个稍微不同的角度看， 可以把有效定义为实际波形的谐波分量开始比$1/f$下降得快时的那个频率点，该颇率有时也称为拐点频率，理想方波的谐波幅度的下降速率近似于$1/f$ . 所以实际波形的谐波幅度开始明显偏离理想方波时的频率，就是拐点频率，

要估算时域波形的带宽、我们实际上是在问： 刚刚超过理想方波中相应谐波幅度70% 的最高频率分量是什么？当实际波形的谐波幅度已明显低于理想方波中相应谐波的幅度时， 那些幅度更低的谐波对减少1上升时间已没有明显作用，于是这些分量就可以忽略了。

使用DFT计算波形的频谱并与理想方波相比较，可以得到任何波形的带宽，从而可以确定出波形中小于理想方波的70% 的那个频率分量，或者使用前面导出的经验公式，即BW 是由0.35/ (上升时间）得出的。

2.12 实际信号的带宽

几乎是理想方波的高质量信号有一个简单的行为特性，即如果传输线电路的终端匹配欠佳，则信号就会发生振铃，频谱在振铃频率处产生峰值。振传频率的幅度会比没有振铃时信号的幅度高十倍以上。

2.13 带宽和时钟频率

对于两个不同的波形，可以有相同的时钟频率，值上升时间和带宽却很可能不同。仅知道时钟频率并不能告诉我们带宽

上升时间与时钟周期有什么关系： 原则上讲，两者之间的唯一约束是：上升时间一定小于周期的50% 。除此之外没有任何限制，上升时间可以是周期的任意百分比，当时钟频率达到器件工艺的极限，如1GHz 时，上升时间可能是周期的25% 。在许多微处理器产品中，典型的上升时间可能是周期的10%, 在高端ASIC 驱动外部低时钟频率存储器总线时，上升时间还可能是周期的5% 。当板级总线属千老式系统时，上升时间甚至可能只有周期的1% 。

经验假设： 上升时间是周期的7%（有挑战，但是是接近的），大部分接近10%这样，上升时间就被低估了，带宽则被高估了，而这比带宽被低估要安全得多。

最终关系表达式： 带宽是时钟频率的五倍
$$B{W}_{clock}=5\times F_{clock}$$
其中：
$B{W}_{clock}$表示时钟带宽的近似值，单位为$GHz$,
$F_{clock}$, 表示时钟频率，单位为$GHz$,

如果时钟频率是100MHz, 则信号的带宽就是500MHz, 。如果时钟频率是1 GHz, 那么信号带宽就是5GHz, 。

这就是说，时钟波形中的最高正弦波频率分量通常就是第五次谐波。

2.14 其他场合的带宽

在其他应有场合，我们有时也用带宽一词，这里的带宽则被赋予了其他的含义，但其往往还是表示最高正弦分量，只是对象不同。例如：

测量的带宽：测量的带宽是指有足够精度时的最高正弦波频率分量。也就是测量仪器在测量不同的参数时，在保证精度满足的情况下能够达到的最高测量频率。

模型的带宽：模型的带宽是指，当我们采用理想的电气模型来进行等价时，这种理想的电气模型成立是在一定的频率区间内的。能够使这个模型基本满足实际情况的最大正弦波频率就是该模型的带宽。

互连线的带宽：互连线的带宽是指能被互连线传输且损耗不是很大的最高正弦波频率分量。这里的损耗不一定是指其幅度的损耗，在远距离电视电缆系统中，接收端甚至可以使用只有源端功率的1%的信号。实际上，互连线的带宽是指互连线能够传输的满足实际应用性能指标的最高正弦波分量。

互连线的带宽是对互连线所能传轮的住号最短上升时间的直接度量

互连线的3dB 带宽指的是信号衰减小于一3dB 时的正弦波频率。

一般来说，如果某频率的幅值在传输前后该频率的幅值减少小于3dB，也就是说幅值减少为入射值的70%以上，那么这种频率的信号我们认为是有效的。也就是说，如果我们说一个互连线的带宽是8GHz，那么我们对这个互连线输入一个8GHz的正弦波，远端得到的信号幅度最多为原信号幅度的70%。如果我们对这个互连线输入的正弦波的频率小于8GHz，那么远端得到的信号的幅度会大于原信号幅度的70%以上。也就是说，经过互连线传播后，低于8GHz的谐波被传输，高于8GHz的谐波分量变得不再是有效成分了。

此外，由于传输线对于信号是有损传播，仅此传输前的信号的上升时间经过传输后会增加，因此这里有个经验法则，就是，如果想要比较好的传播1GHz的信号，互连线的带宽至少为该信号带宽的两倍，即2GHz。

键合线：半导体封装用的核心材料，是连接引脚和硅片、传达电信号的零件，半导体生产中不可或缺的核心材料。只有1/4忽米直径的超丝线，生产键合线需要高强度超精密和耐高温的技术能力。