信号完整性分析3——阻抗和电气模型

信号完整性分析3——阻抗和电气模型

常把信号称为变化的电压或变化的电流，在信号完整性总目录中总结出的所有效应都是由模拟信号（那些变化的电压和电流）与
互连线的电气特性之间的相互影响引起的，而与信号相互影响的关键电气特性就是互连线的阻抗。

阻抗定义： 电压与电流之比，通常用大写字母 Z 表示阻抗。
$$Z=V/I$$

3.1 用阻抗描述信号完整性

用阻抗来描述四类信号完整性问题：

1. 任何阻抗突变都会引起电压信号的反射和失真，这使信号质量会出现问题。如果信号所感受到的阻抗保持不变，就不会发生反射，信号也不会失真。衰减效应是由串联和并联阻抗引起的。
2. 信号的串扰是由两条相邻信号线条（当然还有它们的返回路径）之间的电场和磁场的耦合引起的，信号线间的互耦合电容和互耦合电感产生的阻抗决定了耦合电流的值。
3. 电源供电轨道的塌陷实际上与电源分布系统(PDS) 的阻抗有关。系统中必然流动着一定的电流量以供给所有的芯片，并且由于在电源和地之间存在着阻抗，所以当芯片电流切换时，就会形成压降。这个压降意味着电源轨道和地轨道从正常值向下塌陷。
4. 最大的EMI 根源是流经外部电缆的共模电流，此电流由地平面上的电压引起。在地平面上返回路径的阻抗越大，电压降即地弹就越大，由它再激起辐射电流。减少电缆电磁T 扰的最常用力法是在电缆周围使用铁氧体扼流圈，这主要是为了增加共模电流所受到的阻抗，从而减少共模电流

阻抗是解决信号完整性问题所使用的方法的核心：

• 新设计的流程图：

建模和仿真这两个关键步骤的基础是：把电气特性转换成阻抗描述，分析阻抗对信号的影响。

如果知道电路图中每个电路元件的阻抗，并且知道如何计算组合电路元件的阻抗，那么任何模型和任何互连线的电气特性都能仿算出来。

3.2 阻抗的含义（电路基础知识，略过）

• 无论何种器件的阻抗，也不管是在时域还是在频域中，阻抗的单位都是欧姆。

• 阻抗的定义适用于所有场合，不论在时域还是在频域中，也不管是测量实际器件还是计算理想器件。

• 对于有两端以上的器件而言，如耦合导线或传输线的前端和后端，阻抗的定义也是一样的，只是要考虑另外的引出端，所以更复杂一些。

3.3 实际的和理想的电路元件

实际的： 是可测的，是实际存在的事物，它们是构成现实的硬件系统的互连线或元件， 实际的器件包括板上的线条，封装中的引线或装在板上的去耦电容等。

理想的： 是特殊的电路元件的数学描述，有详细而精确的定义。仿真器只能仿真理想器件的性能，电路理论的概念和形式仅适用于理想器件，而且模型也是由理想器件组合而成的。

为什么要区分实际的和理想的： 任何实际的物理互连线或无源元件的阻抗都是可测的。然而，当计算阻抗时，仅能计算出四种理想电路元件的阻抗。不能测量理想的电路元件。同样也不可能计算任何实际电路元件的阻抗。

建模用到的四种理想两端电路元件：

1. 电阻；

2. 电容；

3. 电感；

4. 传输线。

把前三种归为一类，因为它们的特性可以集中到一个点上，所以把它们称为集总电路元件。它们与理想传输线的特性不同，后者的特性沿着传输线是“分布式的＂。

3.4 时域中理想电阻的阻抗

理想电阻两端的电压与流过的电流之间的关系如下：
$$V=I\times R$$
式中：

$V$ 表示电阻两端的电压

$I$ 表示流过电阻的电流

$R$ 表示电阻值

在时域中，运用阻抗的定义和理想元件的定义，可以计算出一个理想电阻的阻抗：
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{I\times R}{I}=R$$
这就是说，理想电阻的阻抗是恒定的，且与电压和电流无关。电阻的阻抗确实很简单。

3.5 时域中理想电容的阻抗

在理想电容器中，两块极板之间存储的电荷和它们之间的电压差存在着一定的关系。理想电容器的电容值定义如下：
$$C=\frac{Q}{V}$$
式中：

$C$ 表示电容，单位为$F$ (法拉）

$V$ 表示两极板之间的电压差，单位为$V$ (伏特）

$Q$ 表示在极板之间存储的电荷，单位为$C$ (库仑）

电容器的电容值描述了它在一定电压下存储电荷的能力。

**电流如何流过电容器：**电流并不是真正地流过电容器，只是在电容器两端的电压改变时，看起来好像是有电流一样。设想增加电容器两端的电压，也就是说，上极板的上面增加r 一些正电荷，同时下极板的上面增加了一些负电荷。下极板上增加负电荷等同于推出正电荷，这就好像是把正电荷加到上极板，然后再把正电荷从下极板推出

对$C=\frac{Q}{V}$两边求导：
$$I=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt}$$
式中：

$I$ 表示流过电容器的电值

$Q$ 表示电容器一个极板上的电荷量

$C$ 表示电容器的电容值

$V$ 表示电容器两端的电压

如果电容器两端的电压变化很快，则流过的电流就会很大。如果电压几乎不变的话，流过的电流也就接近于零。利用这个关系，可以在时域中计算出理想电容器的阻抗：
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{V}{C\frac{dV}{dt}}$$
式中：

$V$ 表示电容器两端的电压

$C$ 表示电容器的电容值

$I$ 表示流过电容器的电流

它表明电容器的阻抗与它两端的电压波形的确切形状有关。如果电压波形的斜率很大（也就是说电压变化很快），则流过的电流就很大，而且电容器的阻抗会很小。同样也表明在电压信号的变化率相同时，电容器的电容值越大，它的阻抗就越小。

3.6 时域中理想电感的阻抗

对理想电感的行为定义如下：
$$V=L\frac{dI}{dt}$$
式中：

$V$ 表示电感两端的电压

$L$ 表示电感器的电感值

$I$ 表示值过电感器的电流

上式表明电感器两端的电压与流过电流的变化快慢有关。如果电流是个常数，那么电感器两端的电压就是零。同理，如果流过的电流迅速地变化，那么电感器两端的压降就很大。电感值是一个比例常数，它反应了电流变化时，所产生电压的敏感程度。所以大电感意味着变化小的电流也可以产生一个大电压。

• 当直流电流流经电阻时，电流流入的一端是止极，另一端是负极。同样，对于电感而言，流进的电流持续增加的那一端就是感应电压的正极，另一端就是负极:

利用这个基本定义，可以计算出电感器的阻抗，即电感器两端的电压与流经电感器的电流之比：
$$Z=\frac{V}{I}=L\frac{\frac{dI}{dt}}{I}$$
式中：

$V$ 表示电感器两端的电压

$L$ 表示电感器的电感

$I$ 表示流过电感器的电流

**电感阻抗的一般特点：**如果流过电感器的电流迅速地增加，那么阻抗就很大，也就是当电流突然变化时，阻抗是非常大的；如果流过的电流只有很微弱的变化，则电感器的阻抗就非常小。对于直流电流来说，电感器的阻抗近似为零。

3.7 频域中的阻抗

可以在电路元件两端加上正弦电压，然后观察流经这个电路元件的电流。这时，仍用阻抗的基本定义（即电压和电流之比），所不同的是我们采用两个正弦波之比：电压正弦波和电流正弦波之比。

• 所有基本电路元件和互连线都是线性器件

• 采用正弦电压和正弦电流之比说明了什么呢？两个正弦波的比值不是正弦波，而是一些包含了每个频率点上的幅度比值和相移信息的数据。这个比值的幅值只是两正弦波幅度之比：
  $$|Z|=\frac{|V|}{|I|}$$
  电压幅度和电流幅度之比称为阻抗的幅值，其单位是欧姆。阻抗的相位就是两波形之间的相移，单位是度或是弧度。

  我们可以推出重要结论：任何电路元件的阻抗由两个数组成：在每个频率点上的幅值和相位。

  e.g. $20MHz$ 频率时，阻抗的幅值是 $15\Omega$ , 相位是 $25$ 度。也就是说，阻抗是 $15\Omega$ , 电压比电流超前 $25$ 度。

• 在频域中，阻抗也可以用复数来表示。(电路知识)

  在频域中仅需处理正弦电压和正弦电流，运用这个新观点，可以从另一种角度来分析阻抗。

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  电阻

  如果施加正弦电流使之流过电阻，则在电阻两端就会得到一个正弦电压，它是R 和正弦电流的乘积：$V=I_{0}sin(wt)\times R$

  若采用电压与电流的比值表示电阻的阻抗，会发现阻抗就是电阻值：$Z=\frac{V}{I}=\frac{I_{0}sin(wt)\times R}{I_{0}sin(wt)}=R$

  我们可以得出：**电阻阻抗与频率无关，且相移为零。**在任何频率上，理想电阻的阻抗都是相等的。这和我们在时域中看到的结果完全一致。

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  电容

  在频域中分析理想电容器时，在电容器两端加上一个正弦电压，流经电容器的电流就是电压的导数，即为余弦波：$I=C\times \frac{d}{dt}{V}_{0}sin(wt)=C\times w{V}_{0}cos(wt)$

  即使电压幅度不变，电流的幅度也会随着频率的升高而增加。频率越高，流经电容器的电流幅度就越大，这表明电容器的阻抗会随着频率的增大而减小。电容器的阻抗可由下式计算得到：$Z=\frac{V}{I}=\frac{V_{0}sin(wt)}{C\times w{V}_{0}cos(wt)}=\frac{1}{wC}\times \frac{sin(wt)}{cos(wt)}$

  ==我们可以得出：==电容器阻抗的幅值就是$1/wC$，当角频率增加时，电容的阻抗减小。阻抗的相位就是正弦波和余弦波之间的相移，即-90 度。

  e.g. 10nF 的实际去耦电容，在1GHz 频率时的阻抗是多少呢？首先，假定这个电容器是理想的电容。10nF 的理想电容的阻抗是$1/(2\pi \times 1GHz\times 10nF)=1/(6\times 10^9\times 10\times 10^{-9})=1/60\approx 0.016\Omega$, 这是一个很小的阻抗。如果这个实际的去耦电容的行为与理想电容相同，那么它在$1GHz$ 频率时的阻抗约是$10m\Omega$, 当然，频率越低，阻抗就越大。如在$1Hz$ 时，它的
  阻抗大约是 $16M\Omega$

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  电感

  加正弦电流流经电感，则产生的电压是：$V=L\times \frac{d}{dt}{I}_{0}sin(wt)=L\times w{I}_{0}cos(wt)$

  上式表明，当电流的幅度固定不变时，频率越高，电感两端的电压就越大。也就是说，频率升高时，需要更高的电压，才能使相同幅度的电流流经电感。电感器的阻抗随着频率的升高而增大。

  运用阻抗的基本定义，可以推导出电感的阻抗在频域中的表示：$Z=\frac{V}{I}=\frac{L\times w{I}_{0}cos(wt)}{I_{0}sin(wt)}=wL\times \frac{cos(wt)}{sin(wt)}$

  ==我们可以得出：==电感的阻抗的幅值为$wL$。频率越高，交流电流要流经电感器就越困难，这是电感特性所产生的结果。电感器的阻抗的相位就是电压和电流之间的相移，即+90 度。

  实际的去耦电容中，存在一个与电容自身形状和封装相关的电感，这个本征电感粗略估
  汁为2nH 。很难使这个值再低了。将实际电容器中的串联电感模型化为2nH 的理想电感，那
  么在!GHz 频率下，此电感的阻抗是多少呢？

  其阻抗为$Z=2\pi \times 1GHz\times 2nH=12\Omega$ 当它与电源和地分布相串联时，我们希望阻抗
  尽可能的小，如低于$0.1\Omega$ , 所以$12\Omega$ 实在是太大了。在上一个问题中，理想电容元件在$1GHz$ 频率的阻抗是$10m\Omega$。
  可见，理想电感元件的阻抗比理想电容元件高1000多倍，所以，电感将对实际电容器的高频
  行为起主导作用

3.8 等效电气电路模型

实际互连线的阻抗行为可以通过组合这些理想元件得到非常好的近似。把理想电路元件的组合称为等效的电气电路模型，或者简称为模型，电路模型图通常称为原理图。

等效的电路模型有两个特征：

1. 指出电路元件是怎样连接在一起的（称为拓扑结构）；
2. 确定了每个电路元件的值（称为参数值或寄生值）。

从图中可以很明显地行出，低频时，这个简单模型的效果非常好。然而，它只在70MHz 以下时才能很好地吻合，所以它的带宽是70MHz。

3.9 电路理论和SPICE

电路理论中比较重要的法则就是两个或多个元件串联时的组合阻抗等于各个元件的阻抗之和。在频域时，相加的阻抗是复数，所以就必须服从复代数学，这使得组合阻抗的计算变得复杂了点

近似于实际电容的RLC电路模型的阻抗为：
$$Z(w)=R+i(wL-\frac{1}{wC})$$
利用上述解析表达式，对于任意选定的R,L 和C 值，可以画出RLC 电路的 “阻抗－频率” 曲线。

SPICE

Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis(侧重于集成电路的仿真程序）

它基于制造尺寸来预测晶体管的行为，实际上就是一个电路仿真器。对于各种电压和电流波形,我们用R,L,C 和T( 传输线）元件画出的电路都可以用SPICE 仿真。

3.10 建模简介

• 如果互连线的电气结构很短，那么最初的简单电路模型就可以由集总电路元件组成；如果互连线是均匀的，并且电气结构很长，那么起初的最好的电路模型就是理想传输线模型。

• 一般的趋势是：带宽越高，模型越复杂。然而，任何一个带宽很高的模型在低频时的等效效果也很好，否则，对信号中低频分量的瞬态仿真就不准确了。