【信号与系统】笔记（4-4）复频域分析

Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！
CSDN@AXYZdong

一、微分方程变换解

解：微分方程两边取拉氏变换，可得：
$(s^2+5s+6)Y(s)-sy(0_{-})-y'(0_{-})-5y(0_{-})=(2s+10)F(s)$
整理：
$Y(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}+\frac{2s+10}{s^2+5s+6}\cdot F(s)$
故： $Y_X(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}=\frac{4}{s+2}+\frac{-3}{s+3},Y_f(s)=\frac{2s+10} {s^2+5s+6}=\frac{-6}{s+2}+\frac{2}{s+3}+\frac{4}{s+1}$
零状态响应： $y_f(t)=(2e^{-3t}+4e^{-t}-6e^{-2t})\epsilon(t)$
零输入响应： $y_X(t)=( 4e^{-2t}-3e^{-3t})\epsilon(t)$
全响应： $y(t)=(-e^{-3t}+4e^{-t}-2e^{-2t})\epsilon(t)$

二、系统函数

系统函数定义为：
$H(s)=\frac{Y_f(s)}{F(s)}=\frac{B(s)}{A(s)}$

它只与系统的结构、元件的参数有关，而与激励、初始状态无关。

$y_f(t)=h(t)*f(t) \longrightarrow Y_f(s)=\mathcal{L}[h(t)]F(s)$

三、系统的s域框图

例：

解：设左边加法器输出为： $X(s)$

则： $X(s)=F(s)-5s^{-1}X(s)-4s^{-2}X(s)$
$Y(s)=X(s)+4s^{-2}X(s)$
可得： $X(s)=\frac{s^2}{s^2+5s+4}F(s)$
$Y(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}F(s),即：({s^2+5s+4})Y(s)=(s^2+4)F(s)$
（1）微分方程： $y''(t)+5y'(t)+4y(t)=f''(t)+4f(t)$
（2）系统函数： $H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}$
（3） $H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}=1+\frac{5}{3(s+1)}-\frac{20}{3(s+4)}$
$h(t)=\mathcal{L^{-1}}[H(s)]=\delta(t)+(\frac{5}{3}e^{-t}-\frac{20}{3}e^{-4t})\epsilon(t)$

看完就赞，养成习惯！！！^ _ ^ ❤️ ❤️ ❤️
码字不易，大家的支持就是我坚持下去的动力。点赞后不要忘了关注我哦！