数字信号处理学习笔记[4] 线性时不变滤波器与系统

4 线性时不变滤波器与系统

4.1 线性时不变系统及其时间响应函数

0. Q: 如何理解$h(n)=T\delta (n)$及此$h(n)$的作用？
   A: 对于线性时不变系统，可以只考虑$\delta (n)$的输出$T\delta (n)$（时间响应函数$h(n)$），此时任意$x(n)$的输出就可以用
   $y(n)=Tx(n)=Tx(n)\ast \delta (n)=T\sum x(k)\delta (n-k)$
   $=(线性)\sum x(k)T\delta (n-k)=\sum x(k)h(n-k)=x(n)\ast h(n)$计算。
   注：也可以计算出频谱（频率响应函数）$H(\omega )=\sum h(n)e^{-in\omega }$和Z变换$H(Z)=\sum h(n)Z^n,Z=e^{-i\omega }$等。
1. Q: 实际工程中不满足线性时不变怎么办？
   A: 例如：近似认为线性时不变。认为分段线性时不变。“迭代”地自适应分段，等等。
2. Q: 如果只知道$u(n)$响应，怎么求时间响应函数？
   A: 提示：$\delta (n)=u(n)-u(n-1)$，并利用线性时不变性质。

4.2 线性时不变系统的因果性和稳定性

0. Q: 直观解释因果性和$h(n)$的关系。
   A: 设$n$数值大表示时间靠后，则$\delta (n)$作为输入时，输出只能作为“果”，即：使得$h\ne 0$的$n$只能为$n\ge 0$.
   想象：在第0时刻输入$\delta (n)$之前，系统对即将来的$\delta (n)$一无所知，所以$n<0$之前的反应和没有任何输入的反应应当相同。
   （对于线性时不变系统没有任何输入，输出当然是0）
1. Q: 用范数考察两种稳定性的定义。
   A: BIBO稳定性相当于考察max范数（无穷范数）。能量有限稳定性相当于考察2范数。
2. Q: 两种稳定性充要条件分别是什么，这两种稳定性的条件有何联系？
   A: BIBO稳定性等价于$h$“绝对收敛”，而能量有限稳定性等价于$h$频谱有界，后者是前者的必要不充分条件。
   注：考察能量稳定性的充要条件时直接在频域考察，非常直观。
3. Q: 对于$Z$变换为$1/(1-2Z)$的系统，且已知物理可实现，其收敛域是否包含单位圆？如果不包含，这是否和$Z$变换定义矛盾？
   A: 不包含。物理可实现要求$H(Z)$展成正向单边级数，故收敛域为包含原点的圆盘。
   形式上，此处$Z$变换可展开为$1+2Z+\cdots$，信号为$1,2,4,\cdots$. 可以发现由于单位圆处级数不收敛，故该信号的频谱无意义。其实此处把$Z$变换当成形式记号即可。
   实际上，如果我们只考察频谱有意义的信号，那么$1/(1-2Z)=-\frac{1}{2Z}\frac{1}{1-1/2Z}=-\frac{1}{2Z}(1+1/2Z+\cdots )$才是对的。

4.3 系统的组合——串联、并联及反馈

0. Q: 卷积和乘法都具有（）律，所以容易证明两个（线性时不变）滤波器串联的时间响应函数为（），$Z$变换为（）。对并联回答以上问题。
   A: 结合，两时间响应函数卷积，两$Z$变换乘积。
   对加法的分配律，两时间响应函数之和，两$Z$变换之和。
1. Q: 卷积（串联）的实际应用：光学上，点成像得到（），以及物体在曝光时间内（），都造成成像时的模糊，总的结果是两个效应的（）运算（假设两个效应都线性时不变）。
   A: 斑（由于衍射），运动，卷积
2. Q: 常见的（线性时不变）反馈系统$y(t)=x(t)\ast h_1(t)-y(t)\ast h_2(t)$对应的$Z$变换如何？
   A: $Y(Z)=X(Z)H_1(Z)-Y(Z)H_2(Z),\frac{Y(Z)}{X(Z)}=\frac{H_1(Z)}{1+H_2(Z)}$
   注：这样的$Z$变换较难直接算出$h(n)$. 不过我们应用时也不需要算它。

4.4 有理系统及其时间响应函数

0. Q: 分别解释名称“有理”和“递归”的由来。
   A: 提示：有理指的是系统的Z变换是有理函数。注意分子分母都为有限项，这对$H_1,H_2,h_1,h_2$提出了要求。
   递归指的是形如$y(n)=\sum b_{k}x(n-k)-\sum a_{k}y(n-k)$的结构中对$y$有递归。
   注：可以看到，分母的常数项不能为0.
   注：“有理”和“递归”也对应了实际工程中的设计思想。对于一些无法直接实现的结构，如理想低通滤波，你可以逼近；也可以让信号在系统里经过多个子系统，反复多次处理乃至使用递归等。
1. Q: 求稳定有理系统的时间响应函数时，为什么要求分母在单位圆上无根？分母有重根怎么办？
   A: 稳定的系统也能量稳定，频谱有界。在频谱存在时，$Z$取单位圆上数均应使表达式$H(Z)$有意义。
   有重根时，仍按有理函数一般的分解方式，得到$\sum \frac{c_j(l_j)}{(Z-{\alpha }_j{)}^{l_j}}$，并对$1/(Z-w{)}^n$也正常使用幂级数展开。
   （当然，可利用$\frac{(2-Z)+Z}{(Z-2{)}^2}$或$1/(1-x{)}^2=(1/(1-x){)}^{\prime }=(1+x+\cdots {)}^{\prime }=1+2x+\cdots$等方法）
2. Q: 对比1.和4.2题3.
   A: 一般情况下，同一个$Z$变换可能对应多个不同收敛域及相应信号。根据需要的性质可进行筛选。
   已知因果则“正向”，已知稳定则“包括单位圆”
   注：之后差分方程要求“单向Z变换”，也是一个道理。
3. Q: 时间响应函数$h(n)$表达式中，出现了$2^n$说明系统就不稳定了吗？
   A: 如果$n\le c$范围内表达式$2^n$，那没关系。

4.5 差分方程的单边$Z$变换解法

0. Q: 简要解说“稳定性条件”“唯一确定”“差分方程不同”“还要知道初始值”
   A: 例：任何时候，$y(n)=y(n-1)+x(n)$都不足以从$x(n)$唯一确定输出。
   为了确定输出，要么确定初始值（差分方程），要么确定稳定性条件或其他条件。
1. Q: 上面的差分方程可以有无穷多种初值，但$Y(Z)=ZY(Z)+X(Z)\iff Y(Z)/X(Z)=1/(1-Z)$只对应两种可能的系统，这是怎么回事？
   A: 提示：使用$Z$变换就是假设线性。如果指定线性，则差分方程的初值也不可能是无穷多种了。
   更进一步：如果指定线性，稳定，则差分方程没有合法初值。（当然$1/(1-Z)$也不对应任何合题意的系统了）
2. Q: 用多项式乘法的视角考察单边$Z$变换解差分方程。
   A: 举例：$(1+2x+4x^2\cdots )(1-2x)=1$，记其中$a_n=u(n)2^n$，那么上面的方程
   $(a_0+a_{1}x+\cdots )(1-2x)=1$
   也就是
   $a_0=1,a_1-2a_0=0,a_2-2a_1=0,\cdots$.
   这也可以看出乘积和卷积的关系，为什么要单边，等等。
3. Q: 斐波那契数列意思就是$y(n)-y(n-1)-y(n-2)=x(n)=0$嘛？
   A: 不是。初始处两个值要特殊考虑。$x(n)$不恒为0.
4. Q: “0输入解”和“0状态解”可以类比什么数学中的对象？
   A: 如：非齐次线性方程组的通解的两部分。
5. Q: 对于$y(n)-\alpha y(n-1)=x(n),x(n)=\alpha \delta (n),y(-1)=\beta$，如何使用$Z$变换表示$Y$和$X$的关系？
   A: $Y(Z)-\alpha (y(-1)+{\sum }_{n=1}^{\infty }y(n-1)Z^n)=X(Z)$
   $Y(Z)-\alpha y(-1)-\alpha ZY(Z)=X(Z)$，注意比$ZY(Z)$多出了一项$y(-1)$，原因是此处$y$相比之前，不再是$<0$时恒为0了，则单边$Z$变换时对边界的处理要特别注意。

习题

0. Q: 做分解：$\frac{1}{(1-\alpha Z)(1-\beta Z)}$
   A: $原式=(\frac{1}{1-\alpha Z}/\beta -\frac{1}{1-\beta Z}/\alpha )/(1/\beta -1/\alpha )$