八、阶梯型矩阵

1. 阶梯型矩阵

若矩阵A满足两条件：（1）若有元素全为0的行，则该行应在最下边（2）非0行的第一个非0元素的列标号随行号的增加而增加，那么矩阵A为阶梯型矩阵，例如：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 5 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. 行简化阶梯型矩阵

若矩阵A满足两条件：（1）矩阵A为阶梯型矩阵（2）非0首元(非0行的首个非0元素)所在的列，除了非0首元外，其它元素全为0，那么矩阵A为行简化阶梯型矩阵，例如：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 15 & 0 & -10\\ 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 行最简化阶梯型矩阵(reduced row echelon form)

若矩阵A满足两条件：（1）矩阵A为行简化阶梯型矩阵（2）非0首元都为1，那么矩阵A为行最简化阶梯型矩阵，例如：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-1}{6}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{-2}{3}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

非0首元为1时，又称主元(pivot entry)，和主元相结合的变量称为主变量，其余变量为自由变量

4. 阶梯型矩阵实际用途

在矩阵的实际用途一文中已经说明了矩阵的实际用途，但是如果未知数个数多于方程个数，那么方程组可能有无数解，例如，在四维空间中，方程组的解为一个平面，或者在三维空间中，方程组的解为一根直线，平面或直线都是无数个解。下面举一个例子，假设有一个方程组：

$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 7 \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 - x_4 = 12 \\ 2x_1 + 4x_2 + 6x_4 = 4 \end{cases}$

其中，未知数的个数为4，方程的个数为3，初步判断，该方程组有无数解，我们使用矩阵法求解该线性方程组，步骤如下：

1. 从线性方程组创建系数矩阵

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & -1\\ 2 & 4 & 0 & 6 \end{bmatrix}$

2. 增广系数矩阵

$\mathbf{A} = \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & -1\\ 2 & 4 & 0 & 6 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ 12\\ 4 \end{matrix} \right ]$

此时，矩阵A就是线性方程组的另一种写法

3. 使用高斯消去法将增广矩阵转化为行最简化阶梯型矩阵

$\mathbf{A} \Rightarrow \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ -5\\ 10 \end{matrix} \right ]$

$\Rightarrow \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ -5\\ 0 \end{matrix} \right ]$

$rref(\mathbf{A}) = \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 5\\ 0 \end{matrix} \right ]$

4. 用行最简化阶梯型矩阵重写线性方程组

$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 2 \\ x_3 - 2x_4 = 5 \end{cases}$

其中， $x_1$ 和 $x_3$ 为主变量， $x_2$ 和 $x_4$ 为自由变量

5. 用自由变量来表示主变量

$\begin{cases} x_1 = 2 - 2x_2 - 3x_4\\ x_3 = 5 + 2x_4 \end{cases}$

自由变量可以取任何值，通过自由变量求出主变量

6. 扩展线性方程组

$\begin{cases} x_1 = 2 - 2x_2 - 3x_4\\ x_2 = \; \; \; \; \; \; \; \; x_2 \\ x_3 = 5 + \; \; \; \; \; \;\; \; \; 2x_4 \\ x_4 = \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_4 \end{cases}$

7. 用向量形式表示扩展后的线性方程组

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 5\\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -3\\ 0\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}$

从向量形式可以看出，后两个向量的线性组合将扩展成一个平面，因此方程组的解为一个平面

1. 阶梯型矩阵

2. 行简化阶梯型矩阵

3. 行最简化阶梯型矩阵(reduced row echelon form)

4. 阶梯型矩阵实际用途

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