矩阵分析 (八) 矩阵的直积

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  矩阵的直积(Kronecher 积)是一种重要的矩阵乘积，它在矩阵理论研究中起着重要的作用，是一种基本的数学工具。本文介绍矩阵直积的基本性质，并利用矩阵的直积求解线性矩阵方程组和矩阵微分方程组。

直积的定义和性质

• 定义8.1：设矩阵：

$A=(a_{ij})_{m \times n}，B=(b_{ij})_{p \times q}$

  称如下的分块矩阵：

$A \otimes B =\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} B} & {a_{12} B} & {\cdots} & {a_{1 n} B} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{m 1} B} & {a_{m 2} B} & {\cdots} & {a_{m n} B} \end{array}\right)$

  为 $A$与 $B$的直积或者Kronecher积。

  可见 $A \otimes B$是 $mp \times nq$矩阵。

矩阵的直积有下列性质：

• 1、设 $K$为常数，则：
  $k(A\otimes B) = (kA) \otimes B=A \otimes (kB)$

• 2、设 $A_{1}，A_{2}$为同阶矩阵，则：
  $(A_{1}+A_{2}) \otimes B = A_{1} \otimes B+A_{2} \otimes B$
  $B \otimes (A_{1}+A_{2}) = B \otimes A_{1}+B \otimes A_{2}$

• 3、：
  $(A \otimes B)^{T}=A^{T} \otimes B^{T}$

• 4、：
  $(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C)$

• 5、设： $A=(a_{ij})_{m \times n}$， $B=(b_{ij})_{p\times q}$， $C=(c_{ij})_{n \times s}$， $D=(d_{ij})_{q \times t}$，则：
  $(A \otimes B)(C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)$

• 6、设：
  $A \in C^{n \times n}，B \in C^{n\times n}$

  都可逆，则 $A \otimes B$也可逆，且：

$(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}$

• 7、设 $A \in C^{n \times n}$，设 $B \in C^{n \times n}$都是酉矩阵，则 $A \times B$也是酉矩阵。

• 8、设 $A \in C^{m \times m}$的全体特征值是 $\lambda_{1}$， $\lambda_{2}$， $\cdots$， $\lambda_{m}$， $B \in C^{n \times n}$的全体特征值是 $\mu_{1}$， $\mu_{2}$， $\cdots$， $\mu_{n}$，则 $A \otimes B$的全体特征值是：
  $\lambda_{i}\mu_{i}$

• 9、设 $A \in C^{m \times m}$， $B \in C^{n \times n}$，则 $|A \otimes B| = |A|^{n} ·|B|^{m}$。

• 10、设 $A \in C^{m \times m}$的特征值是 $\lambda_{1}$， $\lambda_{2}$， $\cdots$， $\lambda_{m}$， $B \in C^{n \times n}$的特征值是 $\mu_{1}$， $\mu_{2}$， $\cdots$， $\mu_{n}$则：
  $A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B$

  的特征值是：

$\lambda_{i} + \mu_{j}$

• 11、设 $A \in C^{m \times m}$的特征值是 $\lambda_{1}$， $\lambda_{2}$， $\cdots$， $\lambda_{m}$， $B \in C^{n \times n}$的特征值是 $\mu_{1}$， $\mu_{2}$， $\cdots$， $\mu_{n}$，则 $A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T}$的特征值也是 $\lambda_{i}$+ $\mu_{j}$。

• 设 $x$是 $A\in C^{m \times m}$的特征向量， $y$是 $B \in C^{n \times n}$的特征向量，则 $x \otimes y$是 $A \otimes B$的特征向量。

• 设 $A \in C^{n \times n}$，则：

$e^{E \otimes A} = E \otimes e^{A}，e^{A \otimes E} = e^{A} \otimes E$

• 设 $A \in C^{m \times m}$， $B \in C^{n \times n}$则：
  $e^{A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B} = e^{A} \otimes e^{B}$

直积的应用

  本节讨论直积在解线性矩阵方程组中的应用。

拉直

• 定义8.2：设矩阵 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，称 $mn$维列向量：

$\underset{A}{\rightarrow} = (a_{11} \cdots a_{1n}，a_{21} \cdots a_{2n}，\cdots ，a_{m1} \cdots a_{m n})^{T}$

  为 $A$的拉直。

拉直具有下面的性质：

1. 设 $A，B \in C^{m \times n}$， $k$与 $l$为常数，则：

$\overrightarrow{k A+l B}=k \overrightarrow{ A}+ l \overrightarrow{ B}$

2. 设 $A=(a_{ij}(t))_{m \times n}$则：

$\frac{\overrightarrow{dA}}{dt}=\frac{d \overrightarrow{A}}{dt}$

• 定理8.1 设：

$A \in C^{m \times n}，B \in C^{p \times q}，X \in C^{n \times p}$

  则：

$\overrightarrow{AXB} = (A \otimes E_{n})(E_{m} \otimes B^{T}) \overrightarrow{X}$

$= (A \otimes B^{T}) \overrightarrow{X}$

$\overrightarrow{AX+BX} = (A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T}) \overrightarrow{X}$

线性矩阵方程组

• 下面讨论几种类型方程组的解：设

$A \in C^{m \times m}，B \in C^{n \times n}，F \in C^{m \times n}$

  解Lyapunov矩阵方程：

  解 将矩阵两边拉直：

$(A \otimes E_{n}+E_{n} \otimes B^{T}) \overrightarrow{X} = \overrightarrow{F}$

  因为矩阵方程与所得的线性方程组等价，得到矩阵方程组有解的充要条件是：

$r(A \otimes E_{n} + E_{m }\otimes B^{T}，F)$

$= r(A \otimes E_{n} + E_{m }\otimes B^{T})$

  有唯一解的充要条件是：

$|A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T}| \neq 0$

• 设 $A，F \in C^{n \times n}$，且 $A$的特征值都是实数，证明矩阵方程：

$X + AXA + A^{2}XA^{2} =F$

  有唯一解。

• 例10 设

$A \in C^{m \times m}，B \in C^{n \times n}，X(t) \in C^{m \times n}$

  求解矩阵微分方程组的初值问题：

$\left\{\begin{array}{l} {\frac{d X}{d t}=A X+X B} \\ {X(0)=X_{0}} \end{array}\right.$

  解 将矩阵两边拉直：

$\left\{\begin{array}{l} {\frac{\overrightarrow{dX}}{\mathrm{d} t}=\left(A \otimes E_{n}+E_{n} \otimes B^{\mathrm{T}}\right) \vec{X}} \\ {\vec{X}(0)=\vec{X}_{0}} \end{array}\right.$

  这是常系数齐次线性微分方程组，它的解：

$\overrightarrow{X}(t) = e^{A \otimes E_{n} + E_{m} \otimes B^{T} t} \overrightarrow{X_{0}}$

$= (e^{At} \otimes e^{B^{T}t}) \overrightarrow{X_{0}}$

  再由：

$\overrightarrow{AXB} = (A \otimes B^{T})\overrightarrow{X}$

$(e^{At} \otimes e^{B^{T}t}) \overrightarrow{X_{0}}=\overrightarrow{e^{At}X_{0}e^{Bt}}$

  所以：

$\overrightarrow{X}(t) = \overrightarrow{e^{At}X_{0}e^{Bt}}$

$X(t) =e^{At}X_{0}e^{Bt}$