九、矩阵与向量的积

1. 矩阵与向量的积的两种理解方式

假设：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \qquad \vec{x} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_n \end{bmatrix}$

那么矩阵与向量的积为：

$\begin{align*} \mathbf{A} \vec{x} &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_n \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n\\ \cdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \end{bmatrix}\\ &= x_1 \begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \cdots\\ a_{m1} \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \cdots\\ a_{m2} \end{bmatrix} + \cdots + x_n \begin{bmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \cdots\\ a_{mn} \end{bmatrix} \end{align*}$

因此，矩阵与向量的积，既可以看作A的行向量与列向量的点积，又可以看作A的列向量的加权和(或线性组合)

2. 矩阵的零空间

假设集合N为：

$N = \left \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \mathbf{A} \vec{x} = \vec{0} \right \}$

矩阵与向量的积为0向量，那么N称为矩阵A的零空间，N也是一个子空间。

3. 求矩阵的零空间

假设矩阵A为：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

根据矩阵A的零空间的定义：

$\mathbf{A} \vec{x} = \vec{0}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

将矩阵与向量的积转换成相应的线性方程组：

$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0 \\ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$

根据上一篇文章中的阶梯型矩阵实际用途，求解线性方程组：

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

因此，N(A)为上面两个向量的线性组合：

$N(\mathbf{A}) = N(rref(\mathbf{A})) = span(\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 1 \end{bmatrix})$

4. 零空间与线性无关之间的关系

如果矩阵A的列向量是线性无关的，那么矩阵A的零空间只有一个解，就是0向量

5. 矩阵的列空间

矩阵的列空间是一种新的在矩阵中定义的空间，顾名思义，矩阵所有列向量张成的空间，即为列空间。矩阵其实就是一种列向量集合的书写方式。假设：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2} & \cdots & \vec{v_n} \end{bmatrix}$

矩阵A的列空间为：

$\begin{align*} C(\mathbf{A}) &= \left \{ \mathbf{A} \vec{x} | \vec{x} \in \mathbb{R}^n \right \}\\ &= \left \{ x_1 \vec{v_1} + x_2 \vec{v_2} + \cdots + x_n \vec{v_n} | x_1, x_2, \cdots x_n \in R \right \} \\ &= span(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots, \vec{v_n}) \end{align*}$