前言
计算几何应该是一个比较复杂的东西吧,它的应用十分广泛。为此,我花了很长的时间来学习计算几何。
点与向量
点
点应该还算比较简单吧!对于平面上的一个坐标为 的点,我们可以用 来表示它。
向量
向量表示的是一个有大小和方向的量,在平面坐标系下它与点一样也用两个数来表示。这两个数的实际含义是将这个向量的起点移至原点后终点的坐标。通常,我们用 来表示一个向量,用 来表示向量 的长度。
点与向量的基本定义与运算
虽然点与向量十分相像,但是它们在概念上还是有许多不同的。
下面是它们的基本定义与运算。
struct Point//一个结构体用来存储一个点
{
double x,y;//分别存储点的两个坐标
Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}//构造函数
};
typedef Point Vector;//向量在代码中其实与点差不多,因此可以直接typedef一下
inline Vector operator + (Vector A,Vector B) {return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y);}//向量+向量=向量
inline Vector operator - (Point A,Point B) {return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);}//点-点=向量
inline Vector operator * (Vector A,double x) {return Vector(A.x*x,A.y*x);}//向量*一个数=向量
inline Vector operator / (Vector A,double x) {return Vector(A.x/x,A.y/x);}//向量/一个数=向量
点积
下面,先来介绍一下向量的点积。
点积的计算公式及其扩展
对于两个向量 和 ,如果它们的夹角为 ,则它们的点积就等同于 。
既然这样,我们就可以推导出以下公式:
向量的长度: (因为对于两个相同的向量, ,因此 )
向量的夹角: (因为 ,所以 )
以下是代码实现:
inline double Dot(Vector A,Vector B) {return A.x*B.x+A.y*B.y;}//点积
inline double Len(Vector A) {return sqrt(Dot(A,A));}//向量的长度等于sqrt(A,A)
inline double Ang(Vector A,Vector B) {return acos(Dot(A,B)/Len(A)/Len(B));}//向量的夹角等于acos(A·B/|A|/|B|)
点积的正负
该如何判断两个向量的点积的正负呢?
点积的正负是由两个向量的夹角 所决定的。
- 当 时,点积为正。
- 当 ,即两个向量垂直时,点积等于
- 当 时,点积为负。
其他
点积还有一个很重要的性质,就是点积满足交换律。
叉积
叉积与点积是十分类似的。
叉积的计算公式及其扩展
叉积有一个十分神奇的性质,就是 恰好等于这两个向量组成的三角形的有向面积的 倍。
这样,我们就能轻松求出两个向量组成的三角形的面积了:
两个向量组成的三角形的面积:
以下是代码实现:
inline double Cro(Vector A,Vector B) {return A.x*B.y-A.y*B.x;}//叉积
inline double Area(Vector A,Vector B) {return Cro(A,B)/2;}
叉积的正负
叉积的正负是由两个向量的位置关系决定的。
- 当 在 左边时, 为正。
- 当 在 右边时, 为负。
- 如果 与 方向相同,则 为 。
其他
叉积是不满足交换律的, 。
其他运算
点与向量还有一些比较基本的运算,下面就直接贴代码了。
旋转
inline Vector Rotate(Vector A,double rad) {return Vector(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad),A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));}//将向量A旋转rad度
求法线
inline Vector Normal(Vector A) {double len=Len(A);return Vector(-A.y/len,A.x/len);}//求向量A的单位法线