最小向量积

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调整数组元素的位置使得两数组向量积最小

问题描述：

有长度为n的数组a，b，问如何调整数组内元素的位置使得 $a\cdot b$ 最小？

解的通俗描述：

对应小的乘大的，大的乘小的，得到的向量积最小。

证明：

1. 重定义a的逆序
   依据数组b来定义数组a的逆序，假设有a，b对应位置上的两对数 $a_{i},a_{j}$和 $b_{i},b_{j}$，如果有 $b_{i}<b_{j}$时 $a_{i}>a_{j}$，或者 $b_{i}>b_{j}$时 $a_{i}<a_{j}$，则称 $a_{i},a_{j}$为一对逆序，否则不为逆序。
2. 证明单调
   假设现在有 $b_{i}<b_{j}$， $a_{i}<a_{j}$， $i=0,1,\cdots,n-1$， $j=0,1,\cdots,n-1$， $i\ne j$
   则向量积 $S_{1}=\sum_{k=0,k\ne i,k\ne j}^{n-1}a_{k}\cdot b_{k}+a_{i}\cdot b_{i}+a_{j}\cdot b_{j}$
   若现在交换 $a_{i},a_{j}$的位置，即数组a增加了一对逆序。
   向量积变为 $S_{2}=\sum_{k=0,k\ne i,k\ne j}^{n-1}a_{k}\cdot b_{k}+a_{i}\cdot b_{j}+a_{j}\cdot b_{i}$
   可以证得 $a_{i}\cdot b_{i}+a_{j}\cdot b_{j}>a_{i}\cdot b_{j}+a_{j}\cdot b_{i}$（这个简单证明放在第3点）
   即 $S_{1}>S_{2}$
   所以结论是：保持b不变，a每增加一对逆序，a，b的向量积就一定会变小，两者呈反比。

所以当a是相对于b的全逆序时，a，b的向量积最小。相反的，当a是相对于b的全顺序时，a，b的向量积最大。

3. 下面证明 $a_{i}\cdot b_{i}+a_{j}\cdot b_{j}>a_{i}\cdot b_{j}+a_{j}\cdot b_{i}$：
   因为 $b_{i}<b_{j}$， $a_{i}<a_{j}$，所以 $b_{i}-b_{j}<0$， $a_{i}-a_{j}<0$
   即 $(a_{i}-a_{j})\cdot(b_{i}-b_{j})>0$
   对上式展开移项即可得到要证明的结论。