1. 实数的集合表示法
实数的集合用R表示,其定义为:所有非复数的数,everything but complex numbers.
2. 有序集合
: 所有有序n元组的集合,所有n个实数的有序集。
3. 向量的另一种定义
中的向量:中的一个特定值。
线性代数的美在于,它不是只能应用在三维空间的图像上,还可以运用在N维空间。
线性代数中,一般用列来表示向量,也可以用行来表示。向量的表示法有很多种,例如,但一般用:
其中,向量用粗体表示或者不用粗体但字母顶上画一个箭头,标量用普通字体表示。二维、三维向量可以用绘图的方式来描绘,超过三维就没办法用绘图的方式来描绘了。
4. 共线向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量,任意一组平行向量都可移到同一直线上,所以又称共线向量。
5. 位置向量
空间中某一点的位置向量就是,以原点为起始点,以该点为终点的向量。
6. 直线的参数化表示
直线的参数化表示,就是用向量来表示直线,然后展开每一行。
在二维平面上,假设:
集合S代表一组共线向量,如果把看作位置向量,那么S代表一根过原点的直线,所有位置向量的终点构成了一条直线。那么,不过原点的直线如何表示呢?
假设:
集合L表示一根不过原点的直线:斜率为1/2,过点(1,2)的直线。
将具体向量代入L中:
直线L的参数表示就是:
直线L也可以直接用x表示y:
当在中处理直线时,可以用参数方程,也可以直接用x表示y,没必要非得用参数方程;但是在中,如果有关于x,y和z的方程,例如x+2y+3z=5,它不是一条直线,而是一个平面,因此在三维空间中,定义直线或曲线的唯一方法是使用参数方程。
7. 向量的线性组合
向量的线性组合就是向量加权求和。线性表示将向量按比例放大,组合表示求和。
意义:向量的线性组合可以张成某一个线性空间(0向量、直线或)。
例如,两个特殊的单位向量:
这两个向量张成(span)的线性空间就是,即:
8. 线性相关
集合中的一个向量可以由集合中的其它向量的线性组合来表示,则称该向量集合线性相关。如果任何一个向量都无法由集合中的其它向量的线性组合来表示,则称该向量集合是线性无关的。
线性相关的准确定义:对于一个向量集合
当且仅当
时,其中不同时为0,该向量集合线性相关。
如果同时为0,则该向量集合线性无关。
9. 线性子空间
是包含所有向量的巨大的集合,一个无限大的集合。的子集或线性子空间,可以是所有的向量,也可以是这些向量的一个子集。在数学上,子空间指的是维度小于(等于)全空间的部分空间。假设V是的一个线性子空间,那么V满足三个条件:
1. V contains ,V中包含0向量。
2. in V, in V, V中的向量满足--数乘的封闭性,假设是子空间V中的向量,c是一个实数,那么仍然在子空间V中。
3. in V 且 in V, in V, V中的向量满足--加法的封闭性。
任何向量集合张成的空间都是子空间。
10. 子空间的基
假设:
且集合S线性无关,
那么集合S是子空间V的一组基。通俗的讲,基就是张成一个空间所需的最小向量集合。