整除分块简易证明

已知 $n$
则 $n除以l \sim \lfloor{n/\lfloor{n/l}\rfloor}\rfloor$的每个数向下取整的答案相同.

下面给出证明.
$\lfloor{n/(n/l)}\rfloor$= $l$
$\lfloor{n/l}\rfloor\ge \lfloor{n/\lfloor{n/\lfloor{n/l}\rfloor}\rfloor}\rfloor$

$n/\lfloor{n/l}\rfloor$

$\lfloor{n/(n/\lfloor{n/l}\rfloor)}\rfloor=\lfloor{n/l}\rfloor\le \lfloor{n/\lfloor{n/\lfloor{n/l}\rfloor}\rfloor}\rfloor$

综上: $\lfloor{n/l}\rfloor = \lfloor{n/\lfloor{n/\lfloor{n/l}\rfloor}\rfloor}\rfloor$

$\lfloor{n/1}\rfloor+\lfloor{n/2}\rfloor+\lfloor{n/3}\rfloor+\lfloor{n/4}\rfloor+...+\lfloor{n/n}\rfloor$只需要 $O(\sqrt n)$的时间即可求出.

证明思路:把两个向下取整号分别换成括号再分开讨论.