泊松过程和维纳过程

泊松过程和维纳过程

关键词：独立增量过程

  泊松过程和维纳过程是两个典型的随机过程，属于独立增量过程。

  什么是独立增量过程呢？

在互不重叠的区间上，状态的增量是相互独立的

  给定一个二阶矩过程： $\{X(t),t\ge 0\}$称 $X(t)-X(s),0\le s\le t$为随机过程在区间 $(s,t]$上的增量；
  对于任何选中的正整数 $n$和任何选定的 $0\le t_0< t_1<t_2<···<t_n$， $n$个增量：
$X(t_1)-X(t_0),X(t_2)-X(t_1),···,X(t_n)-X(t_{n-1})$互相独立，则称 $\{X(t),t\ge 0\}$为独立增量过程。

  
  什么叫增量具有平稳性？
  对任意的实数 $h$， $0\le s+h< t+h$， $X(t+h)-X(s+h)$和 $X(t)-X(h)$具有相同的分布。这时称增量具有平稳性。也就是说，增量的分布函数只依赖于时间差，而不是在于什么时候的分量（ $t、s$）。
  当增量具有平稳性时，称相应的独立增量过程是齐次的或者时齐的。

1. 泊松过程

  用 $\{N(t),t\ge 0\}$表示一个计数过程，如图：

  增量 $N(t_0,t)$表示增量内出现的点数，出现 $k$个点的概率为：
$P_k(t_0,t)=P\{N(t_0,t)=k\}, \ k=1,2,···$
  如果 $N(t)$满足以下条件：

1. 在互不重叠的区间上的增量具有独立性；
2. 对于充分小的 $\Delta t$:
   $P_1\{N(t,t+\Delta t)\}=P\{N(t,t+\Delta t)=1\}=\lambda \Delta t+o(\Delta t)$其中 $\lambda> 0$称为过程 $N(t)$的强度，而 $o(\Delta t)$是 $\Delta t \rightarrow 0$时 $\Delta t$的高阶无穷小。
3. 对于充分小的 $\Delta t$:
   $\sum _{j=2}^{+\infty} P_j\{N(t,t+\Delta t)\}=P\{N(t,t+\Delta t)=j\}=o(\Delta t)$
4. $N(0)=0$

条件2,3的意思是：在很小的时间间隔内，最多只有一个质点出现，而出现两个及以上质点的概率几乎为零

  将满足此条件的计数过程 $\{N(t),t\ge 0\}$称为强度为 $\lambda$的泊松过程。
  泊松分布的参数 $\lambda$是单位时间或单位面积内随机事件的平均发生率。
  相应的质点流（或者说质点出现的随机时刻 $t_1,t_2,···$）称为强度为 $\lambda$的泊松流。

  条件2,3也可以这样表述：
  对任意的 $t>t_0\ge 0$，增量：
$N(t)-N(t_0)\sim \pi [\lambda(t-t_0)]$即
$P\{N(t)-N(t_0)=k\}=\frac{e^{-\lambda (t-t_0)}[\lambda (t-t_0)]^k}{k!},k=1,2,···$

2. 维纳过程

  什么又是维纳过程？
  如果一个二阶矩 $\{W(t),t\ge 0\}$满足以下条件：

1. 具有独立增量
2. $W(0)=0$
3. 对任意的 $t>s\ge 0$，增量：
   $W(t)-W(s)\sim N(0,\sigma^2(t-s))，\sigma >0$此过程称为维特过程
     由条件3可知，维纳过程的分布至于时间差有关，所以它是齐次的独立增量过程
     
   

总的说来，泊松过程和维纳过程是两种齐次的独立增量过程。
只不过泊松过程的增量服从泊松分布，维纳过程的增量服从高斯分布

参考：

《概率论与数理统计》（浙大）