引言

泊松过程是一类较为简单的事件连续状态离散的随机过程。泊松过程在物理徐、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。

泊松过程的定义和例子

定义1（计数过程）：设 $N (t)$ 表示到时刻 $t$ 为止已经发生的“事件A”的总数，若 $N (t)$ 满足以下条件：
（1） $\geq 0$
（2） $N (t)$ 取正整数
（3）若 $s < t$ ，则 $\leq N(t)$
（4）当 $s < t$ 时，则 $N (t) - N (s)$ 等于区间 $(s, t]$ 中发生的“事件A”的次数，则称随机过程{N(t)， $\geq 0$ }为计数过程。

如果计数过程 $N (t)$ 在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数时相互独立的，即若 $t_{1} < t_{2} \leq t_{3} < t_{4}$ ，则在 $t_{1},t_{2}]$ 内事件A发生的次数 $N(t_{2}) - N(t_{1})$ 与在 $t_{3},t_{4}]$ 内事件A发生的次数 $N(t_{3}) - N(t_{4})$ 相互独立，此时该计数过程为独立增量过程。

若计数过程 $N (t)$ 在 $(t, s + t] (s > 0)$ 内，事件A发生的次数 $N (t + s) - N (s)$ 仅与时间差 $s$ 有关，而与 $t$ 无关，则称计数过程 $N (t)$ 是平稳增量过程。

泊松过程是计数过程最重要的类型之一，它的定义有两种，如下：

定义2.1（泊松过程）：设计数过程{X(t)， $\geq 0$ }满足下列条件：
（1） $X (0) = 0$ ；
（2） $X (t)$ 是独立增量过程；
（3）在任一长度为 $t$ 的区间中，事件A发生的次数服从参数 $\lambda t>0$ 的泊松分布，即对任意 $\geq 0$ ，有
$P\{X(t+s)-X(s)=n\} = e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n}}{n!}$
则称计数过程{X(t)， $\geq 0$ }为具有参数 $\lambda >0$ 的泊松过程。

定义2.2（泊松过程）：设计数过程{X(t)， $\geq 0$ }满足下列条件：
（1） $X (0) = 0$ ；
（2） $X (t)$ 是独立平稳增量过程；
（3） $X (t)$ 满足下列两式：
$P\{X(t+h)-X(t)=1\} = \lambda h + o(h)$
$P\{X(t+h)-X(t)\geq2\} = o(h)$
则称计数过程{X(t)， $\geq 0$ }为具有参数 $\lambda >0$ 的泊松过程。

注意：定理2.1与2.2等价！

从定义2.1的条件（3）可知泊松过程是平稳增量过程且 $E[X(t)]=\lambda t$ 。由于 $\lambda = \frac{E[x(t)]}{t}$ 表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称 $\lambda$ 为此过程的速率或者强度

泊松过程的基本性质

根据泊松过程的定义，我们可以得出泊松过程的几个常用的数字特征。
设{X(t)， $\geq 0$ }是泊松过程，对任意的 $\in [0,\infty)$ ，且 $s < t$ ，有
$E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=\lambda(t-s)$
由于 $X (0) = 0$ ，故期望：
$m_{x}(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=\lambda t$
方差：
$\sigma^{2}_{x}(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=\lambda t$
自相关函数：
$R_{x}(s,t)=E[X(s)X(t)]=\lambda s(\lambda t+1)$
协方差函数：
$B_{x}(s,t)=R_{x}(s,t)-m_{x}(t)m_{x}(s)=\lambda s$
一般来说泊松过程的协方差函数可以表示为：
$B_{x}(s,t)=\lambda min(s,t)$
泊松过程的特征函数为
$g_{x}(u)=E[e^{iuX(t)}]=exp\{\lambda t(e^{iu}-1)\}$

时间间隔与等待时间分布： 如果我们用泊松过程来描述服务系统接收服务的顾客数，则顾客到来接收服务的时间间隔、顾客排队的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面我们对泊松过程与时间特征有关的分布进行较为详细的讨论。

定理3：设{X(t)， $\geq 0$ }是具有参数 $\lambda$ 的泊松分布， $\{T_{n}，n \geq 0\}$ 是对应的时间间隔序列，则随机变量 $T_{n}(N=1,2,...)$ 是独立同分布的均值为 $\lambda$ 的指数分布。
其分布函数为：
$F_{T_{n}}(t)=P\{T_{n} \leq t\} = \begin{cases} 1-e^{- \lambda t}，&t \geq 0,\\ 0，& \text{t < 0}, \end{cases}$
其概率密度函数为：
$f_{T_{n}}(t)= \begin{cases} \lambda e^{- \lambda t}，&t \geq 0,\\ 0，& \text{t < 0}, \end{cases}$

定理4：设 $\{W_{n}，n \geq 1\}$ 是与泊松过程{X(t)， $\geq 0$ }对应的一个等待时间序列，则 $W_{n}$ 服从参数为 $n$ 与 $\lambda$ 的 $\Gamma$ 分布，其概率密度为：
$f_{W_{n}}(t)= \begin{cases} \lambda e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t^{n-1})}{(n-1)!}，&t \geq 0,\\ 0，& \text{t < 0}, \end{cases}$
分布函数为 ：
$F_{W_{n}}(t)=P\{W_{n} \leq t\} = P\{X_{t} \geq n\} = \sum^{\infty} _{j=n} e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t^{j})}{(j)!}$

定理4又被称为爱尔兰分布，它是 $n$ 个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。

到达时间的条件分布：假设在 $[0, t]$ 内事件A已经发生过一次，我们要确定这一事件到达事件 $W_{1}$ 的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，故有理由认为 $[0, t]$ 内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个事件的到达事件应在 $[0, t]$ 上服从均匀分布。事实上，对 $s < t$ 有：
$P\{W_{1} \leq s|X(t)=1\} = \frac{s}{t}$
分布函数为：
$F_{W_{n}}(t)= \begin{cases} 0，&s < 0,\\ s/t,& 0 \leq s < t,\\ 1，& s\geq t, \end{cases}$
分布密度为：
$f_{W_{n}}(t)= \begin{cases} 1/t,& 0 \leq s < t,\\ 0，& 其它. \end{cases}$

非齐次泊松过程

定义5：设计数过程{X(t)， $\geq 0$ }满足下列条件：
（1） $X (0) = 0$ ；
（2） $X (t)$ 是独立平稳增量过程；
（3） $X (t)$ 满足下列两式：
$P\{X(t+h)-X(t)=1\} = \lambda (t)h + o(h)$
$P\{X(t+h)-X(t)\geq2\} = o(h)$
则称计数过程{X(t)， $\geq 0$ }为具有跳跃强度函数 $\lambda (t)$ 的非齐次泊松过程。并且均值函数为：
$m_{x}(t)=\int^{t}_{0}\lambda(s)ds$

非齐次泊松过程的概率分布如下：

定理6：设{X(t)， $\geq 0$ }是具有均值函数 $m_{x}(t)=\int^{t}_{0}\lambda(s)ds$ 的非齐次泊松过程，则有
$P\{X(t+s)-X(t)=n\}=\frac{[m_{x}(t+s)-m_{x}(t)]}{n!}e^{-[m_{x}(t+s)-m_{x}(t)]},n\geq 0$
或
$P\{X(t)=n\}=\frac{[m_{x}(t)]}{n!}e^{-[m_{x}(t)]},n\geq 0$

复合泊松过程

定义7：设{N(t)， $\geq 0$ }是强度为 $\lambda$ 的泊松过程， ${Y_{k},k=1,2,...\}$ 是一列独立同分布随机变量，且与 $\{N(t)，t\geq 0 \}$ 独立，令
$X(t)=\sum^{N(t)}_{k=1}Y_k,t\geq0,$
则称 $\{X(t)，t\geq 0 \}$ 为复合泊松过程。

定理8：设 $X(t)=\sum^{N(t)}_{k=1}Y_k,t\geq0,$ 是复合泊松过程，则
（1） $\{X(t)，t\geq 0 \}$ 是独立增量过程；
（2） $X (t)$ 的特征函数 $g_{x(t)}(u)=e^{ \lambda t [g_{Y}(u)-1]}$ ，其中 $g_{Y}(u)$ 是随机变量 $Y_{1}$ 的特征函数； $\lambda$ 是事件的到达率。
（3）如果二阶矩存在，则 $\lambda tE[Y_{1}],D[X(t)]= \lambda tE[Y_{1}^{2}]$

泊松过程的相关概念

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泊松过程的定义和例子

泊松过程的基本性质

非齐次泊松过程

复合泊松过程

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