「USACO 2019.12 Platinum」题解

Greedy Pie Eaters

考虑将每个区间对应一个贡献，不存在的贡献为 $0$即可
那么最后一定恰好吃掉 $n$个派，每只吃掉一个
设 $f_{l,r}$表示将 $[l,r]$吃完的最大代价
那么枚举中间的一个
有 $f_{l,r}=\max_{l\le k\le r}(f_{l,k-1}+f_{k+1,r}+g_{l,r,k})$
$g_{l,r,k}=\max_{l\le a\le k\le b\le r}A[a][b]$

$O(n^3)$区间 $DP$即可

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Bessie’s Snow Cow

考虑对于每种颜色用 $set$分别维护颜色覆盖的区间
每次插入一段区间后将联通区间并起来
用树状数组维护区间加区间求和
这样复杂度均摊 $O(nlogn)$

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Tree Depth

考虑逆序对 $Dp$的生成函数
就是 $\prod_{j=1}^n(\sum_{i=1}^{j-1}x^{i-1})=\prod_{j=1}^n\frac{1-x^j}{1-x}$

这样可以简单求出 $k$个的方案数
再考虑如何求深度
考虑枚举 $j$，求 $j$对 $i$的贡献
首先 $p_j=min_{k\in[i,j]}(p_k)$时才有贡献
如果 $j<i，$那么 $j$到 $i$中 $j$不会贡献任何一个逆序对
如果 $j>i$，那么中间会形成 $|j-i|$个逆序对
先把中间 $j$的贡献除去，即除以 $\frac{1-x^{|i-j|+1}}{1-x}$，再乘上 $1或x^{|i-j|}$

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