USACO 2020Jan Platinum 题解

T1 Cave Paintings

水在从下向上涨的时候可以看做是一些从不连通变为联通，因此可以等价为一种树形结构的填水方案。为什么是树而不是 DAG 呢？是因为两个同高度的块如果能联通到同一个更低高度的水格，那么它们就联通，应该缩成一个点。
维护一下连通性做树形 DP 即可。
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T2 Non-Decreasing Subsequences

朴素 DP 即为每次将 $\le a_i$ 的位置的方案数加到 $a_i$ 上。设其中第 $i$ 个位置产生的转移是 $aM_i$，则答案可表示为 $(1, 0, \dots , 0) M_lM_{l+1}\cdots M_r (1,1,\dots,1)^\mathsf T$，考虑预处理 $(1, \dots, 0) M_k^{-1} \cdots M_1^{-1}$ 和 $M_1 \cdots M_k (1, \dots, 1)^\mathsf T$ 即可。
注意到本题中的 $M$ 是稀疏的，只有 $\Theta(k)$ 个位置有值，因此它和一个矩阵的乘法复杂度是 $\Theta(k^2)$。
时间复杂度 $\Theta(nk^2 + qk)$。（事实上可以做到 $\Theta(nk\log k + qk)$，但是在本题的数据范围下可能没有什么意义）
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T3 Falling Portals

如果一头年想走到 $y$ 比它大的传送门，那就要尽量换乘 $x$ 较小的传送门以更快地接近，否则就要尽量换乘 $x$ 尽量大的。

按照 $y$ 排序一个个加入，用栈维护一个折线然后在上面二分即可得到相遇时间，正反两边就可以处理出两种情况的答案。时间复杂度 $\Theta(n\log n)$。
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