数论学习之五——费马小定理（米勒罗宾判素）

今天我们来介绍一下数论四大定理之三的费马小定理
费马小定理
如果 $p$是素数， $a$是正整数，且 $gcd(a,p)=1$，则 $a^{p-1}\equiv1(mod\ p)$.

证明如下：
$p-1$个整数 $a,2a,...,(p-1)a$是个不能被 $p$整除，且其中任何两个数模 $p$不同余。所以， $p-1$个整数 $a,2a,...,(p-1)a$模 $p$的余数为 $1,2, ..., p-1$.因此 $a*2a* ...*(p-1)a\equiv1*2* ....*(p-1)(mod\ p)$
即 $a^{p-1}\ *\ (p-1)!\equiv(p-1)!(mod\ p)$.
因为 $gcd((p-1)!, p)=1$,所以 $a^{p-1}\equiv1(mod\ p)$

费马小定理在ACM中一个非常显著的应用就是米勒罗宾判素 ，米勒罗宾判素是根据的费马小定理的逆定理来判别，虽然我们知道费马小定理的逆定理是不成立的，但是从大量数据来看，如果满足 $gcd(a,n)=1$且 $a^{n-1}\equiv1(mod\ n)$,则n较大概率为素数。

准确的说 $Miller-Rabin$方法是一种随机化算法，设n为待检验的整数，k为选取a的次数。重复k次计算，每次在 $\left[1,n-1\right]$范围内选取一个a。
若 $a^{n-1}mod\ n \not=1$,则n为合数（合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数）；若随机选取的k个数都能够使 $a^{n-1}mod\ n =1$成立，则返回n为素数。

下面我们给出 $Miller-Rabin$方法的模板：

typedef long long ll;

ll q_pow(ll a, ll b, ll m)		//快速幂取模
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ans *= a;
			ans %= m;
		}
		a *= a;
		a %= m;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

bool Miller_Rabin(ll x, ll n)//Miller-Rabin方法，选取x为底，判定n是否为素数
{
	ll y = n - 1;
	while(!(y&1))
		y >>= 1;
	x = q_pow(x, y, n);
	while(y < n - 1 && x != 1 && x != n -1)
	{
		x = (x * x) % n;
		y <<= (ll)1;
	}
	return x == n - 1 || y & 1 == 1;//若x为n-1或y为奇数，则n是素数，否则是合数
}

bool isprime(ll n)	//判断32位内的整数是否为素数
{
	if(n == 2 || n == 7 || n == 61)//若n为2，7，61内的数，则n为素数
	{
		return 1;
	}
	if(n == 1 || (n & 1) == 0)	//若n为1或者是偶数，则n为合数
		return 0;
	return Miller_Rabin(2, n)&&Miller_Rabin(7, n)&&Miller_Rabin(61, n);
	//对n进行以2，7，61为底的Miller-Rabin测试，如果通过，则n为素数，否则为合数。
}

这种模板适用的条件很多， $Miller-Rabin$方法比其他方法更占优势的一点就是，当一个数非常大的时候，能够较快的判定他的素性，使你的程序不会运行超时。