图的连通性问题之Prim算法和克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

前言

这是我听老师讲课做的笔记,考试要看的。
作者：RodmaChen
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图的连通性问题

一.概念
二.求最小生成树的两个算法
三.有向无环图（DAG图）
四.边学边练

一.概念

生成树(必考)：图的极小连通子图。即：对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有
n－1条边。

如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一个环。

如果一个图有N个顶点和小于N-1条边，则是非连通图。

有N-1条边的图不一定是生成树。

最小生成树（Minimum Spanning Tree） ：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树。

二.求最小生成树的两个算法

必考考两个算法（5分）

Prim算法

（1）介绍

假设G＝（V，E）为一网图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图
中所有带权边的集合。设置两个新的集合U和T，其中集合U用于存放G 的最小生成树中的顶点，集合T存放G的最小生成树中的边。令集合U的初值为U＝{u1}（假设构造最小生成树时，从顶点u1出发），集合T的初值为T＝{}

Prim算法的思想是:从所有u∈U，v∈V－U的边中，选取具有最小权值
的边（u，v），将顶点v加入集合U中，将边（u，v）加入集合T中，如
此不断重复，直到U＝V时，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了
最小生成树的所有边。

（2）代码实现


void Prim( MGraph G, VertexType u) {
//用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T,输出T的各条边。
//记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义:
/ struct {
// VertexType adivex;
// VRType lowcost;
// }closedge[ MAX_VERTEX_NUM];
//(1) 求初始顶点下标k
i=0;
while(G.vex[i]!=u)
i++;
k=i;
//（2）初始化closedge数组
for(i=0;i<G.n;i++)
{
closedge[i].adivex=u;
closedge[i].lowcost=G.edges[k][i];
}
closedge[k]. lowcost = 0; //初始,U={u}
//(3)找剩余的顶点
for(i=1;i<G.n;i++)
{
k=minimum(closedge) ;
printf(closedge[k].adjvex;G.vex[k])
closedge[k]. lowcost=0;
for (j=0; j<G. vexnum; j++)
if (G. edgs[k][j] < closedge[j]. lowcost)
{
closedge[j].lowcost = G. edgs[k][j];
closedge[j].adjvex= G. vex[k];
}
}
}

克鲁斯卡尔(Kruskal)

算法思想（找出最小权值连接）

（1）首先构造一个只有n个顶点但没有边的非连通图T={V, ∅ },图中每个顶点自成一个连通分量。

（2）当在边集 E 中选到一条具有最小权值的边时,若该边的两个顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到生成树的边集合T 中；否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。
（3）如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。此时的T即为所求。

三.有向无环图（DAG图）

在这里插入图片描述
一个无环的有向图称做有向无环图(directed acycline graph)，简称DAG图。

应用：拓扑排序

1.拓扑排序的定义

拓扑排序是将有向图的顶点排成一个线性序列的过程,它满足:

若i到j有一条路径,i是j前驱,j是i的后继.
若<i,j>是一条弧,则i是j直接前驱,j是i的直接后继。

用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向无环图，称为 顶点表示活动的网（Activity On Vertex
Network），简称为 AOV- 网。

（2）拓扑排序的方法（Topological Sort）

在有向图中选一个没有前驱的顶点，且输出之；

从有向图中删除该顶点和以它为尾的所有弧；

重复以上两步，直至所有顶点被输出，或有向图中没有无前驱的结点

（1）采用邻接表作有向图的存储结构，且在头结点中增加一个存放顶点入度的数组。

（2）入度为0的顶点即为没有前驱的结点，删去顶点及以它为尾的弧的操作，可换成弧头顶点的入度减1的操作。

（3）为避免重复检测入度为0的顶点，另设一栈暂存所有入度为0的顶点。

在这里插入图片描述

要考

路径长度最长的路径叫做 关键路径。

四.边学边练

如下图所示的一个网图，按照Prim方法，从顶点v1出发，画出
该网的最小生成树。

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