克鲁斯卡尔算法与公交问题
应用场景-公交站问题
类似的
看一个应用场景和问题：
- 某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
克鲁斯卡尔算法介绍
- 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
- 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
- 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
克鲁斯卡尔算法图解说明
以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
判断回路问题
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路-举例说明(如图)
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点的说明：
- 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
- 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】
自己推演的过程
C E的终点是F 所以不能连接
C F 的终点是F 也不能连接
B F 的终点 B的终点（因为没连接 终点当成自己 就是B）
F的终点也是F 两者不相同 所以可以连接
刚开始 E F 终点是F (因为F最大)
C D 终点应该是 D 因为连通的 D最大
D E D的终点是自己 E的终点是F 终点不相同 可以连 这时 C的终点应该也变了F （因为连通的 F最大）
D的终点应该也变了F因为连通的 F最大）
C E C的终点是F E的终点是F 终点相同 不能连
CF C的终点是F F的终点是F 终点相同 不能连
BF B的终点是B(自己) F的终点是F 终点不相同 可以连
连完后 因为连通的 F是最大的
所以B的终点应该也变成了 F
克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题
看一个公交站问题：
- 有北京有新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
核心代码 --算出最小生成树
public void kruskal() { int index = 0; //表示最后结果数组的索引 int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点 //创建结果数组, 保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12 //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入 for(int i=0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4 //获取到第i条边的第2个顶点 好像不能叫终点 因为终点会变化 只能是第二个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5 //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //m = 4 //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); // n = 5 //是否构成回路 if(m != n) { //没有构成回路 ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] //就是把第四个顶点的终点设为了第五个顶点 //为什么不需要把第五个顶点的终点设为自己 getEnd 去解释了 //rets是最后的生成树 edges[]是总的边的集合 结合if 就是 没有回路的边就会放到最后的那个最小生成树中去 rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组 } } //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。 //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(rets[i]); } }
核心代码--获取下标为i的顶点的终点
/** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解 */ //举个例子 i= 5 而且ends[5]的值是0 那么就会return 5 就是説第五个是第五个的终点 刚好是自己 //所以上面 判断回路的时候 不需要end[n]=n private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] //注意这里是一个while是一个循环 要不满足条件了才能退出 //第二次的时候 n=end[4] i=end[4]=5 再判断 end[5] 是否等于0 发现等于0 所以return i 5 //第三 次的时候 m=end[2] i=end[2]=3 再判断 end[3] 是否等于0 发现 不等于0 i = end[3] =5 //再判断end[5]是否等于0 等于 0 所以return i 5 while(ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; }
核心代码--获取图中边，放到EData[] 数组中
/** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; EData[] edges = new EData[edgeNum]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { //j=i+1 是为了不自己和自己遍历 i=0 j=0+1 因为自己和自己不会产生边 同时下面也不却要为自己和自己权值等于0写条件了 //至于j=i+1 应该就是 因为是邻接矩阵 是对称的 只遍历上半三角形也能得到结果 if(matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; }
完整代码
package com.atguigu.kruskal; import java.util.Arrays; public class KruskalCase { private int edgeNum; //边的个数 private char[] vertexs; //顶点数组 private int[][] matrix; //邻接矩阵 //使用 INF 表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 //0表示自己与自己连接的权 inf 表示两个顶点不能连通 其他的就是连通的权值 int matrix[][] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树. //创建KruskalCase 对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); //输出构建的 kruskalCase.print(); kruskalCase.kruskal(); } //构造器 public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { //初始化顶点数和边的个数 int vlen = vertexs.length; //初始化顶点, 复制拷贝的方式 this.vertexs = new char[vlen]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for(int i = 0; i < vlen; i++) { for(int j= 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } //统计边的条数 for(int i =0; i < vlen; i++) { for(int j = i+1; j < vlen; j++) {//matrix[0][0] i= 0 j=0 自己与自己不会产生边 //至于j=i+1 应该就是 因为是邻接矩阵 是对称的 只遍历上半三角形也能得到结果 if(this.matrix[i][j] != INF) { edgeNum++; } } } } public void kruskal() { int index = 0; //表示最后结果数组的索引 int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点 //创建结果数组, 保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12 //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入 for(int i=0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4 //获取到第i条边的第2个顶点 好像不能叫终点 因为终点会变化 只能是第二个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5 //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //m = 4 //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); // n = 5 //是否构成回路 if(m != n) { //没有构成回路 ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] //就是把第四个顶点的终点设为了第五个顶点 //为什么不需要把第五个顶点的终点设为自己 getEnd 去解释了 //rets是最后的生成树 edges[]是总的边的集合 结合if 就是 没有回路的边就会放到最后的那个最小生成树中去 rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组 } } //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。 //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(rets[i]); } } //打印邻接矩阵 public void print() { System.out.println("邻接矩阵为: \n"); for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=0; j < vertexs.length; j++) { System.out.printf("%12d", matrix[i][j]); } System.out.println();//换行 } } /** * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */ private void sortEdges(EData[] edges) { for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换 EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = tmp; } } } } /** * * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1 */ private int getPosition(char ch) { for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if(vertexs[i] == ch) {//找到 return i; } } //找不到,返回-1 return -1; } /** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; EData[] edges = new EData[edgeNum]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { //j=i+1 是为了不自己和自己遍历 i=0 j=0+1 因为自己和自己不会产生边 同时下面也不却要为自己和自己权值等于0写条件了 //至于j=i+1 应该就是 因为是邻接矩阵 是对称的 只遍历上半三角形也能得到结果 if(matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解 */ //举个例子 i= 5 而且ends[5]的值是0 那么就会return 5 就是説第五个是第五个的终点 刚好是自己 //所以上面 判断回路的时候 不需要end[n]=n private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] //注意这里是一个while是一个循环 要不满足条件了才能退出 //第二次的时候 n=end[4] i=end[4]=5 再判断 end[5] 是否等于0 发现等于0 所以return i 5 //第三 次的时候 m=end[2] i=end[2]=3 再判断 end[3] 是否等于0 发现 不等于0 i = end[3] =5 //再判断end[5]是否等于0 等于 0 所以return i 5 while(ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } } //创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边 class EData { char start; //边的一个点 char end; //边的另外一个点 int weight; //边的权值 //构造器 public EData(char start, char end, int weight) { this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } //重写toString, 便于输出边信息 @Override public String toString() { return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]"; } }