Points Construction Problem(构造)

Points Construction Problem(构造)

思路：构造。

考虑：如下无解的情况。

1.每个黑格子的贡献只能是 $4,2,0$，所以答案只能是偶数。

2.且 $n$个格子最多贡献 $4n$个，则必须满足 $m\leq4n$。

3.考虑我们能构造 $m$的下界：

一条长为 $x$的直链的贡献为： $2x+2$，一条长为 $x$，宽为 $y$，形如 $L$的链贡献为： $2(x+y)$，显然若成为一个长为 $x$，宽为 $y$的矩阵后贡献仍然不变，因为每增加一个格子，贡献 $+2,-2$是不影响的，所以需要满足 $xy\geq n$，且 $2(x+y)$最小。

由基本不等式可知： $2(x+y)\geq m\geq2\times 2\sqrt{xy}\geq 4\sqrt{n}$。

所以 $m\geq4\sqrt{n}$。即当 $16n>m^2$是无解的。

接下来分两种情况构造：

$1.m>2n+2$。

我们可以构造一条一直链和若干个贡献为 $4$的点。

设贡献为 $4$的点个数为 $x$，则直链长度为 $y=n-x$。

总贡献为：

$4x+2y+2=m\\4x+2(n-x)+2=m\\x=\dfrac{m-(2n+2)}{2}$

因为 $m>(2n+2),m$为偶数，显然 $x$必定有解。

$2.$ $m\leq 2n+2$的情况。

考虑类比无解的情况 $3$。

我们构造一条 $L$形状的链，然后不断填充就可以了。

即：用 $x+y-1$个点构造出 $2(x+y)=m$贡献，然后剩下的点 $rest=n-(x+y-1)$用来填充矩形即可。

$m\leq2n+2\rightarrow \dfrac{m}{2}\leq n+1$。

即我们构造出长和宽和为 $\dfrac{m}{2}$的 $L$链，用 $\dfrac{m}{2}-1$个点 $\leq n$，显然是有解的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(m&1||m>4*n||n*16>m*m) puts("No");
        else {
            puts("Yes");
            if(m>2*n+2){
                int x=(m-(2*n+2))/2,y=n-x;
                for(int i=1;i<=x;i++) printf("1 %d\n",(i<<1));
                for(int i=1;i<=y;i++) printf("3 %d\n",i);
            }
            else {
                int x=m/4,y=m/2-x;
                 for(int i=1;i<=x;i++) printf("%d 1\n",i);
                 for(int j=2;j<=y;j++) printf("1 %d\n",j);
                int rest=n-(x+y-1);
                for(int i=2;i<=x&&rest>0;i++)
                    for(int j=2;j<=y&&rest>0;j++,rest--)
                        printf("%d %d\n",i,j);
                }
        }
    }
    return 0;
}