exgcd/乘法逆元

前言

因为乘法逆元可以用exgcd求，所以就写一起了qwq

exgcd

这个算法主要是用来求\(ax+by=gcd(a,b)\)的解的。
直接把代码放上：证明就算了qwq

long long x,y;
void exgcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	long long tx=x;
	x=y;
	y=tx-y*(a/b);
}

乘法逆元

模板

定义

若\(ax\equiv 1 \pmod b\)（且a与b互质）,则称x为a在\(\bmod b\)意义下的逆元，记作\(a^{-1}\)
用这种方法就可以求出形如\(\frac{a}{b}\)的柿子了（求出b的逆元再乘a即可）

exgcd实现

\(ax\equiv 1 \pmod b\)可以转化成\(ax+by=1\)，这样就可以用exgcd求解了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,y;
void exgcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	ll tx=x;
	x=y;
	y=tx-y*(a/b);
}
int main()
{
	int n,p;
	scanf("%d%d",&n,&p);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		exgcd(i,p); //求解x
		x=(x%p+p)%p;
		printf("%lld\n",x);
	}
	return 0; 
}

总时间复杂度\(O(n\log n)\)，单次求解速度不错

线性递推

用于求一串连续的逆元
首先我们知道\(1^{-1}\equiv 1 \pmod p\)
设\(p=ki+r\),可得\(i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor \times (p \bmod i)^{-1} \pmod p\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e6+5;
ll inv[N];
int main()
{
	int n,p;
	scanf("%d%d",&n,&p);
	inv[1]=1;
	printf("1\n");
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
		printf("%lld\n",inv[i]);
	}
	return 0; 
}

参考： https://www.luogu.com.cn/blog/zjp-shadow/cheng-fa-ni-yuan