题解-UVA12995 【Farey Sequence】

算法：线性筛求欧拉函数，~~本来还想杜教筛~~

本文主要给刚学线性筛欧拉函数的萌新看。~~神仙勿喷QwQ~~

\(\large{\texttt{Meaning}}\)

给定一个 \(n\) ，求 \(F(n)\) ：有多少组数对 \([a,b](0<a<b\le n)\) 其中 \(a,b\) 互质。

\(\large{\texttt{Solution}}\)

将 \(F(n)\) 中的数对归类，设 \(f(n)\) 为 \(b\) 为 \(n\) 的数对 \([a,b]\) 的个数，发现 \(f\) 和 \(\varphi\) （欧拉函数，即 \(\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n} [ \gcd (n,i) ==1]\) ）意义是相同的，那么即 \(F(n)=\sum^{n}_{i=1} \varphi(n)\) 。

然后可以用线性筛求出 \(\varphi\) ，再作一次前缀和，得到 \(F\) 数组，结束了。

还是说说怎么线性筛求欧拉函数吧。

首先，我们有这么一个性质：

\(\varphi(n)=n*\prod_{p|n} (p-1)/p ~~~(p\in \texttt{prime})\)

先设 \(f(n)=\prod_{p|n} (p-1)/p ~~~(p\in \texttt{prime})\)

若一个质数 \(p\) 整除 \(n\) ，则 \(f(pn)=f(n)\) ，因为 \(pn\) 和 \(n\) 用质因数的种类相同（ \(p\) 不是一个新质因数）。

则有

\[\varphi(pn)=\varphi(n)*p \]

若一个质数 \(p\) 不整除 \(n\) ，则 \(f(pn)=f(n)*(p-1)/p\) ，因为p是一个新的质因数。

则有

\[\varphi(pn)=\varphi(n)*p*(p-1)/p= \varphi(n)*(p-1) \]

发现这些式子在线性筛里面可以使用（每个数只会被筛到一次），只需要添上几行代码，且不会增加复杂度。（具体操作参考代码）

\(\large{\texttt{Code}}\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

// #define PB push_back
// #define MP make_pair
// const int M=200010;
#define int long long
// #define us unsigned
// #define LL long long
const int N = 1000000;
// const int mod = 998244353;
int a, ans, prime[N + 10], phi[N + 10], top;

inline void init()//线性筛欧拉函数
{
  phi[1] = 1;//phi[1]较特殊
  for (int i = 2; i <= N; i++)
  {
    if (!phi[i])
    {
      prime[++top] = i;
      phi[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 1; j <= top && i * prime[j] <= N; j++)
    {
      if (i % prime[j] == 0)
      {
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
        break;
      }
      phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= N; i++)//前缀和
    phi[i] += phi[i - 1];
}

signed main()
{
  init();
  // freopen("in","r",stdin);
  while (~scanf("%lld", &a))
  {
    if (!a)
      break;
    printf("%lld\n", phi[a] - phi[1]);//注意phi[1]取不了。
  }
  return 0;
}

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