本文章内容大多采集罗老师著作：《算法竞赛入门到进阶》 清华大学出版社， 感谢罗老师的支持。
1. 快速幂概念：
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快速幂以及扩展的矩阵快速幂，由于场景比较
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常见，因此竞赛常出现。
问题：高效的计算a的n次幂，这里n很大分析：假如a=10，n=9，这样的情况就连自带高精度的Java也无法处理，一是数字太大，二是计算时间很长。
使用快速幂解法1：先算a²，之后再算（a²）²，巧妙的使用了分治法，时间复杂度为O（㏒₂n） 上代码：
int fastPow(int a,int n){
if(n==1) return a;
int temp=fastPow(a,n/2);//分治方法---这里a在增大，n在减小
if(n%2==1) //奇数个a，这里可以写为 if（n&1）
return temp*temp*a;
else
return temp*temp;
}
方法2：位运算快速幂
- 假如求a¹¹，可以分解成(a²)³、a²、a¹，其幂数分别为：8、2、1，
使用二进制表示它们的和，为1011；其中的0是不存在幂数的，因此要跳过0。这里做个判断即可，1011中的0就是需要跳过的。这个判断，利用二进制运算很容易实现：
（1）n&1,取n的最后一位，并判断这一位是否需要跳过。
（2）n>>1,把n向右移动一位，目的是把刚才处理过的n最后一位去掉。 代码：
int fastPow(int a,int n){
int base=a;//不定义base，直接用a进行计算也可以
int res=1;//用res返回结果
while(n){
if(n&1)//如果n的最后一位是1，表示这个地方需要乘
res*=base;
base*=base;//推算乘积，a²->（a²）²->、、、、
n>>1;//n右移一位，把刚处理过的n的最后一位去掉
}
return res;
}
2. 快速幂取模
- 存在意义：
由于幂运算结果非常大，常常会超出变量类型的最大值，甚至超出内存所能存放的最大数，所以涉及快速幂的题目，通常都要做取模操作，缩小结果。
根据模运算的性质，在快速幂中做取模操作，对aⁿ 取模，和先对a取模，和先对a取模在做模运算的结果是一样的，即：
aⁿ mod m=(a mod m)ⁿ mod m
下面修改位运算pastPow（）函数，加上取模操作。以一个残缺程序实验：
if(n&1)
res = (base*res)%mod;
base =(base*base)%mod;
3. 矩阵快速幂：
- 给定一个m×m 的矩阵A，求它的n次幂Aⁿ
，这也是常见的计算。同样有矩阵快算幂的算法，原理是把矩阵当作变量来操作，程序和上面的很相似。
首先需要定义矩阵的结构体，并定义矩阵相乘的操作。注意矩阵相乘也需要取模。
代码：
const int MAXN = 2;//根据题目要求定义矩阵的阶，本例中是2
const int MOD = 1e4;//根据题目要求定义模
struct Matrix{
int m[MAXN][MAXN];
Matrix(){
memset(m,0,sizeof(m));//第一个参数是赋值位置，第二个参数是要赋的值，第三个参数是赋值的个数
}
};
Matrix Multi(Matrix a,Matrix b){ //矩阵的乘法
Matrix res;
for(int i=0;i<MAXN;i++)
for(int j=0;j<MAXN；j++)
for(int k=0;k<MAXN;k++)
res.m[i][j]=(res.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j])%MOD;
return res;
}
下面是矩阵快速幂的程序代码，和前面单变量的快速幂的
代码非常相似
Matrix fastm(Matrix a,int n){
Matrix res;
for(int i=0;i<MANX;i++)
//初始化为单位矩阵，相当于前面程序中的“int res = 1;”
res.m[i][i];
while(n){
if(n&1)
res = Multi(res,a);
a = Multi(a,a);
n>>=1;
}
return res;
}
- 矩阵快速幂的复杂度：上面求Aⁿ，A是m×m的方阵，其中矩阵乘法的复杂度是O(㏒₂n)，合起来是O（m³*㏒₂n）。
应用矩阵快速幂的难点在于如何把地推关系转化为矩阵。