【数学】【数论】快速幂

写在前面：

　　记录了个人的学习过程，同时方便复习

• 快速幂

　　在求解同余方程时，常常会遇到a^b%c的问题

　　显然，对a^b的计算耗费空间很大，甚至会数据溢出

　　但是根据模运算的分配律，就可以对这个步骤进行简化

(在[◹]对算术基本定理的研究中提到过)

　　先引入小学学习的一种方法：a^b == a*a*a*...*a  (b个a连乘)

　　那么a^b%c

　　== (a*a*a*...*a)%c  (b个a连乘)

　　== (a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c  (b个a%c连乘)

　　== {[(a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c(b/2个a%c连乘) * (a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c(b/2个a%c连乘)]%c * (b/2) * (a%c)}%c

　　== {[(a%c)²%c]*[(a%c)²%c]*...*[(a%c)²%c]%c(b/2个(a%c)²连乘) * (b/2) * (a%c)}%c

　　== ...

　　这样不断地消去b，对a^b的过程量取模，就又保证了数据不溢出

　　从二进制的角度看更好理解

　　就是从小到大对这个数对应的二进制位逐个乘上，然后在步骤之间取模

注：b&1即b%2==1，b>>=1即1b/=2

　　代码：

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int x,y,z;
 6 
 7 int Pony_FE(int a,int b,int c)
 8 {
 9     int ans=1;
10     a%=c;
11     while(b!=0)
12     {
13         if(b&1) ans=(ans*a)%c;
14         b>>=1;
15         a=(a*a)%c;
16     }
17     return ans;
18 }
19 
20 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
21 {
22     scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
23     printf("%d\n",Pony_FE(x,y,z));
24     
25     return 0;
26 }

Java：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3 
 4 class pony{
 5 
 6     static int x,y,z;
 7 
 8     static int Pony_FE(int a,int b,int c)
 9     {
10         int ans=1;
11         a%=c;
12         while(b!=0)
13         {
14             if(b%2==1) ans=(ans*a)%c;
15             b>>=1;
16             a=(a*a)%c;
17         }
18         return ans;
19     }
20 
21     public static void main(String[] args) throws Exception {
22         
23         Scanner cin=new Scanner(System.in);
24         
25         x=cin.nextInt();
26         y=cin.nextInt();
27         z=cin.nextInt();
28 
29         System.out.println(Pony_FE(x,y,z));
30     }
31 }

　　当然还有递归写法的

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int x,y,z;
 6 
 7 int Pony_FE(int a,int b,int c)
 8 {
 9     if(!b) return 1;
10     int res=Pony_FE(a,b/2,c);
11     res=(res*res)%c;
12     if(b&1) res=(res*a)%c;
13     return res;
14 }
15 
16 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
17 {
18     scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
19     printf("%d\n",Pony_FE(x,y,z));
20     
21     return 0;
22 }

Java：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3 
 4 class pony{
 5 
 6     static int x,y,z;
 7 
 8     static int Pony_FE(int a,int b,int c)
 9     {
10         if(b==0) return 1;
11         int res=Pony_FE(a,b/2,c);
12         res=(res*res)%c;
13         if(b%2==1) res=(res*a)%c;
14         return res;
15     }
16 
17     public static void main(String[] args) throws Exception {
18         
19         Scanner cin=new Scanner(System.in);
20         
21         x=cin.nextInt();
22         y=cin.nextInt();
23         z=cin.nextInt();
24 
25         System.out.println(Pony_FE(x,y,z));
26     }
27 }