Easy Integration（Wallis积分）（2020牛客多校第一场J题）

原题题面

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K

Given n, find the value of $\int_0^1 {(x-x^2)^n} \,{\rm d}x$.
It can be proved that the value is a rational number $\frac{p}{q}$.
Print the result as $p·q^{-1}\ mod\ 998244353$.

输入描述

he input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains an integer n.

• $1 \leq n \leq 10^6$
• The number of test cases does not exceed $10^5$.

输入样例

1
2
3

输出样例

166374059
432572553
591816295

题面解析

比赛时使用了二项式定理拆分，果不其然算不出来了，于是看了题解用了Wallis积分
由于数据组数是 $1e5$,而 $n$有 $1e6$，因此考虑要去推结论。
由于积分形式是 $(XXXXX)^n$的形式，且x的范围为 $[0,1]$,故考虑Wallis积分/分部积分法。
简单来说就是如下结果：

（值得一提的是，Wallis积分其实本身就是多次分部积分法的结果，所以其实和分部积分法是同一个东西）
所以我们可以得到如下证明：

AC代码（183ms）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=998244353;
long long quick_mul (long long a,long long b,long long c)//快速乘
{
    return (a*b-(long long)((long double)a*b/c)*c+c)%c;
}
long long quick_pow (long long a,long long b,long long c)//快速幂
{
    long long ans=1,base=a;
    while (b!=0)
    {
        if (b&1)
            ans=quick_mul (ans,base,c);
        base=quick_mul (base,base,c);
        b>>=1;
    }
    return ans%c;
}
long long factoral[2000050];
void init()
{
    factoral[0]=1;
    for(int i=1; i<=2000001; i++)
    {
        factoral[i]=i*factoral[i-1]%mod;
    }
}
int main()
{
	long long n;
	init();
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
		long long sum=factoral[2*n+1];
		long long sum1=quick_pow(factoral[n],mod-2,mod);
		sum1=quick_pow(sum1,2,mod);
		sum=sum*sum1%mod;
		printf("%lld\n",quick_pow(sum,mod-2,mod));	
	}
} 

后记

OEIS真好玩 A002457