线性代数 or 量子力学 ？（七——薛定谔方程详解）

小伙伴们 ，大家好，欢迎大家来到本篇量子博客 观看！如果您是第一次观看我的博客，如果您也是和我一样刚入门量子力学或是量子计算相关的学习，纠结于量子的抽象与晦涩难懂，那么本专栏 从线性代数到量子力学一定是您的不二之选，学海本就苦，愿你有甜心，如果觉得博主写的有错误的直接在评论区留言，博主也是大一的一名程序狗，希望大家多多支持，点点赞，另外，本专题是每月更或半月更，有需要的小伙伴可以点点专注！

一 . 薛定谔方程到底是啥?

我们在前面为大家较为详细的推导过波函数和薛定谔方程，但是我们却迟迟没有说过它能够干些什么，价值存在于何处？ 就像坐在电脑前的你一样，在现实中看到美女只能远远的看着，却不能得到她，有时看看也是一种奢侈 ho(´^｀)o，下面我将手把手带你走进薛定谔方程这位美女的内心深处，体验近代以来科学界最伟大壮丽的美！

放张大佬的图镇楼！

我们先来回顾一下我们本专栏的第五篇博客中介绍的一些基本内容！
$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2} \psi+V \psi$
这里的几个物理量：

• $i$ 即虚数单位；
• $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ 称为约化普朗克常数!
• $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ , 即梯度算子
• $V=V(x,y,z,t)$ 是体系中的势能分布，取决于具体的物理情形！
• $\psi=\psi(x,y,z,t)$ 波函数

大家都是理科生，在高中学原子物理的时候，我们就知道一个原子核的核外，会有许多的电子轨道，大量的电子形成像云雾一样的感觉，我们叫做电子云，每个电子一般情况下都在固定的轨道上饶原子核做圆周运动，一个原子核的核外电子的能量往往不能连续取值，而只能处在一些分立的能量值上面，这些分立的能量值叫作电子的能级，能级相当于是包含于在不同的电子轨道里面，举个例子：一般短周期元素有K，L, M 轨道，其中的K能层（也叫轨道）只有一个1s能级，而L能层有2s ，2p 轨道，随着能层的增加，其每层对应的能级数也越多！ 其实这一切都是薛定谔在搞鬼！

我们研究一个物质或者某个元素的化学物理性质的时候，讨论最多的就是它的能级！霓虹灯发出不同颜色的光就是加热使得 原子的核外电子由基态或者是低能级向高能级跃迁 ，电子本身能量减少，多余的能量以光子的形式散发出去，相邻能级直接的能量差是固定的，比如其反射的是蓝色和紫色，在单一电子能级跃迁的情况下，不可能使得电子丧失的能量辐射处于蓝色和紫色之间的颜色！

说了那么多，想揭示的就是：这些能级分布的信息，正是薛定谔方程给出来的。换句话说，求解薛定谔方程能得到的最重要的信息，就是一个体系中允许存在的能级！

二. 解方程

我们研究的叫“薛定谔方程”，那么既然是个方程，那么就要解方程啊！

为了简化这个过程，使它变得更加友好，我这里只需要解一维的薛定谔方程！我们开始：

一维的原方程简化为:
$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi+V \psi$
原来的梯度算子也只保留了X方向上的，所以这里只需到对x求二次偏导， $V=V(x),$ $\psi=\psi(x,t)$这些都发生了变化！接下来分离变量，将波函数中的坐标x和时间t变量分开:

$\psi(x, t)=\phi(x) T(t)$
求偏导大家应该都会（注意这里 $\psi$和 $T$都是对应函数的简写）：
$\mathrm{i} \hbar \phi T^{\prime}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} T \phi^{\prime \prime}+V \phi T$
等式两同时除以 $\phi T$ 得：
$\mathrm{i} \hbar \frac{T^{\prime}}{T}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\phi^{\prime \prime}}{\phi}+V=E$ 这里我们直接将除过的结果令为E，分别求解；
$-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\phi^{\prime \prime}}{\phi}+V=E$
这时，方程两边再同乘 $\phi$:
$-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \phi^{\prime \prime}+V \phi=E \phi$
还记得这个似曾相识的式子么，没错！它就是我们之前也推过的定态薛定谔方程！

如果给定了边界条件，那么我们通常会得到这个方程的一组特解序列 $\phi_{n}(x), n \in \mathbb{Z}$，而每个特解会对应一个常数值 $E_{n}$。

$-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \phi_{n}^{\prime \prime}+V \phi_{n}=E_{n} \phi_{n}$

注意: 这里得到的常数序列 $E_{n}$，就是粒子能量允许出现的取值，也就是能级!,再延伸一步，它就是对应我们量子力学中能测量出来的能量本征值！

我的天，这么神奇的么？为啥解出来的值就是能级啊！别急，一步一步来！

三. 山人自有妙计

我们之前就为大家详细的解释过，经典力学的物理量到了量子力学这里全部 被包含在 态矢量 中，而态矢量在坐标表象中的表达方式就是波函数 $\psi=\psi(x,y,z,t)$，所以，不准确的来说，经典力学量的信息当然应该都包含在波函数当中。 注意，波函数的特点是“概率”，所以准确来说就是：经典力学量的信息都以概率形式被包含在波函数当中！

那么问题就来了，它是如何包含这些物理量的呢？看两个东西：

位置：一个粒子的波函数的模方 $\left | \psi(x,y,z,t) \right |^{2}$ ，表示 $t$ 时刻在 $(x,y,z)$ 处找到这个粒子的概率密度

能量：刚刚我们学习的定态薛定方程，求解后得到特解序列 $\phi_{n}(x), n \in \mathbb{Z}$ 以及对应的能级序列 $E_{n}$，如果我们人为规定薛定谔方程的初始条件 $\psi (x,0)$ , 将其用 $\phi _{n}(x)$的级数形式展开得到：
$\psi (x,0)=\sum_{n}c_{n}\phi _{n}$
而这里的系数 $c_{n}$ 的模平方 $\left |c_{n} \right |^{2}$就代表了能量的概率信息!

换句话说：对于一个初始状态处于 $\psi (x,0)$ 的粒子，当我们去测量它的能量时，测得它处在能级 $E_{n}$上的概率为 $\left |c_{n} \right |^{2}$

由此，我们就看到了波函数如何包含经典力学量的概率信息！

刚才我们已经看到，分离变量后得到的定态薛定谔方程，本质上就是能量本征方程的一个具体形式，它描述的是能量的哈密顿算符与能量本征值、本征态之间的关系！

我们可以用哈密顿算符将薛定谔方程写成抽象形式：
$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=\hat{H} \psi$
从这个式子可以看出，它其实描述的是态矢量的时间演化规律与体系能量之间的关系，或者说得更通俗一点，描述的是量子态的动力学规律！

我们目前讨论研究的是以一维薛定谔方程为主，毫无疑问薛定谔方程远不止这么简单，如果对这方面有兴趣的小伙伴推荐你去b站上看一个小姐姐的视频 ，她会详细耐性且温柔的把从波函数到薛定谔方程的所有理论内容都给你推了一遍 ，最最关键的是 ，这个小姐姐的声音很好听 (～￣▽￣)～ 戳这里~~