洛谷八月月赛II Div.2 A-C题解

PS: $D$有空再补，题目还没看呢QAQ

Solution

A

可以发现答案有单调性，即如果高度为 $h$的房子可以盖出，则高度小于 $h$的房子显然可以盖出。

于是我们果断二分。对于目前的高度 $h$，我们算出 $A,B$材料总共缺少的数量，然后再与 $c$一比即可得到二分的值是否可行。

时间复杂度 $O(log_2{10^9})$。

B

可以发现，满足要求的序列是两个差为 $k$交互出现的序列，并且长度是偶数。

于是，我们直接枚举交替出现的这两个数中的一个，另一个也可以求出；然后直接求出对于这两个数形成的序列的最大和即可。注意特判 $k=0$的情况。

另外，无合法序列输出的是 $NO$而不是 $-1$，导致本蒟蒻 $\color{red} \text{WA}$了好多次 QAQ。

C

比较擅长的数学题，奇迹般地 $2$分钟切掉了

首先，推一推式子。假设这两个数分别是 $am,bm$，其中 $m$为这两个数的最大公约数；显然 $a⊥b$( $a$与 $b$互质)且 $a,b$均为自然数。

带入，得

$x+y+gcd(x,y)=lcm(x,y)$

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$am+bm+m=abm$

$m(a+b+1)=mab$

$a+b+1=ab$

$ab-a-b-1=0$

$ab-a-b+1=2$

$(a-1)(b-1)=2$

至此，可以得到 $a=2,b=3$或 $a=3,b=2$。

---

但是，我们如何找到形成的序列的最大和呢？

考虑 $dp$。首先将这个序列按降序排序并去重，用 $map$记录下每个数在原序列中出现的次数。

状态设计: $dp_i$表示看到第 $i$个数的最大和。

状态转移:

如果第 $i$个数是奇数，那么 $1$到 $i-1$的所有数显然不能让它跟在后面，此时 $dp_i=a_i$；

否则，我们考虑让它跟在第 $\frac {a_i} 2×3$的后面，即 $dp_i=dp_x+a_i$，其中 $x$为满足 $a_x=\frac {a_i} 2×3$的唯一 $x$。

我们可以用 $map$记录下 $x$这个数出现的位置，即可高效进行第二种转移。

时间复杂度 $O(nlog_2n)$，但是由于 $STL$的巨大常数导致在洛谷上跑得比蜗牛还慢（当然过了）。

Code

A

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int a,b,c,now,ans;

bool check(int x)
{
	int need=(x*(x+1))/2,sumv;
	sumv=max(need-a,0ll);
	sumv+=max(need-b,0ll);
	if (sumv<=c)  return true;
	else return false;
}

int Binary_search(int l,int r)
{
	if (l+1==r||l==r)
	{
		if (check(r))  ans=max(ans,r);
		if (check(l))  ans=max(ans,l);
		return ans;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (check(mid))  return Binary_search(mid,r);
	else return Binary_search(l,mid);
}

signed main()
{
	cin>>a>>b>>c;
	cout<<Binary_search(0,1e9)<<endl;
	
	return 0;
}

B

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,k,u,v,maxv,cnt,pos;
int a[2000005];

signed main()
{
	cin>>n>>k;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>u>>v;
		a[u]+=v;
		if (u*a[u]>maxv)  maxv=u*a[u],pos=u;
	}
	if (k==0)
	{
		if (a[pos]>=2)  return cout<<maxv<<endl,0;
		else return cout<<"NO"<<endl,0;
	}
	else
	{
		maxv=0;
		for (int i=0;i<=1000000;i++)
		{
			u=a[i],v=a[i+k];
			cnt=min(u,v);
			if (cnt>=2)  maxv=max(maxv,cnt*i+cnt*(i+k));
		}
		if (maxv==0)  cout<<"NO"<<endl;
		else cout<<maxv<<endl;
	}
	return 0;
}

C

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,pos,ans=0;
int a[300005],b[300005],dp[300005];

map<int,int> m;
map<int,int> m2;

bool cmp(int x,int y)
{
	return x>y;
}

signed main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		m[a[i]]++;
	}
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (a[i]!=a[i-1])  b[++pos]=a[i];
	}
	n=pos;
	
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (b[i]&1)  dp[i]=m[b[i]]*b[i],m2[b[i]]+=dp[i];
		else dp[i]=m2[(b[i]/2)*3]+b[i]*m[b[i]],m2[b[i]]+=dp[i];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)  ans=max(ans,dp[i]);
	cout<<ans<<endl;
	
	return 0;
}