【SSL_1460】最小代价问题(DP)

最小代价问题

题目

设有一个n×m(小于100)的方格（如图所示），在方格中去掉某些点，
方格中的数字代表距离（为小于100的数，如果为0表示去掉的点），
试找出一条从A(左上角)到B（右下角）的路径，经过的距离和为最小（此时称为最小代价），
从A出发的方向只能向右，或者向下。

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Input

Output

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Sample Input

4 4
4 10 7 0
3 2 2 9
0 7 0 4
11 6 12 1

Sample Output

(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(4,4)
24

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解题思路

这道题要用DP来做。题意是找出从左上到右下的路径，并只能往下或往右。
那么这n*m个方格中，每个方格都只可能从上面或左边来，
所以每个节点只用选择上面或左边最小的那个加起来，并记录路径就行了。
状态转移方程：f[i][j]+=min(f[i-1],f[i][j-1])+a[i][j], 2<=i<=n,2<=j<=m
路径的记录我用1来表示从上来，0表示从左来。
但是要对边界预处理，即第1行和第1列要提前处理，预处理也别忘了记录路径。
还有当前节点是0就不能走，选择的来的节点是0就不是从这个节点来的，
选择来的节点的上面和左面都是0也不是从这个节点来的。

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代码

#include<iostream>
using namespace std;
long long n,m,a[101][101],b[101][101],ans[1000][2],c[101][101];
void in(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			c[i][j]=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
			if(i==1&&j==1)continue;
			if(a[i][j]==0){//a[i]为0，跳过
				a[i][j]=1000;
				c[i][j]=0;
				continue;
			}
			if(i==1)//第一行预处理
			{
				a[i][j]+=a[i][j-1];
			}if(j==1)//第一列预处理
			{
				a[i][j]+=a[i-1][j];
			}
		}
	}
}
int main(){
	in();
	for(int i=2;i<=n;i++){//第一行预处理的路径记录
		b[i][1]=1;
	}for(int j=2;j<=m;j++){//第一列预处理的路径记录
		b[1][j]=0;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=2;j<=m;j++){
			if(c[i-1][j]==0&&c[i][j-1]==0){//左边和上面都不能走，本节点不能走
				c[i][j]=0;
			}if(a[i][j]==0){//本节点为0，不能走
				a[i][j]=1000;//输入的数最大为100，这样可以避免此数被选
				c[i][j]=0;
			}if(c[i][j]==0){
				continue;
			}if(i==n&&j==m){//右下终点的数是不被算的
				a[i][j]=0;
			}if((a[i-1][j]<=a[i][j-1])&&c[i-1][j]==1){//如果可以从上面来并上面小
				a[i][j]+=a[i-1][j];
				b[i][j]=1;
			}else
			if((a[i][j-1]<a[i-1][j])&&c[i][j-1]==1){//如果可以从左边来并左面小
				a[i][j]+=a[i][j-1];
				b[i][j]=0;
			}
		}
	}
	int xx,yy,x,y,l=1;
	//下面是从(n,m)开始根据路径记录来往回推出具体路径
	x=n;y=m;
	while(x!=1||y!=1){
		ans[l][0]=x;ans[l][1]=y;//ans为经过的坐标(x,y)
		l++;
		if(b[x][y]==1){
			x--;
		}else{
			y--;
		}
	}
	cout<<"(1,1)";
	for(int i=l-1;i>0;i--){//倒着输出
		cout<<"->"<<"("<<ans[i][0]<<","<<ans[i][1]<<")";
	}cout<<endl;
	cout<<a[n][m];
}