15北京赛区Kejin Game(最小割思维)

Kejin Game

首先在15年这是一道金牌题(可能现在不是了)

难点在于,没有明确的提示是网络流,想到网络流不一定想到最小割,想到最小割还有会建模

当然这个建模没有那么鬼畜,主要是思路历程要想对。

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$\color{Red}决策1:直接购买某个点,不需要任何依赖$

$\color{Red}决策2:对于某个无依赖的点,可以直接购买$

$\color{Red}决策3:对于某条依赖边,可以直接购买$

开始往费用流之类的方向想,都会遇到一个瓶颈

就是流无法解决多对一的关系(所有依赖边小时候才能执行决策2)

所以我们想到了最小割.

$我们的模型应该具有以下几个功能$

$考虑简单的一条链的依赖,s-1-2-3-4-5-t$

$假如我们对5使用决策1,那么s-t应该直接断掉(满足最小割)$

$假如我们对4使用决策1,那么[1,4]应该都不考虑,已经和t断开(一个割)$

$但是仍满足s-4-5-t的路线,因为后面还需要割开$

具体建模

$所以我们知道,一个点满足不了要求,把u点拆为u和u'$

$对于原图的u-v边,从u'向v'连一条流量为边费用的边$

$u向u'连一条流量为决策1的边$

$s向u连一条流量为决策2的边$

$跑最小割即可$

一些解释

$由于对于一个点u,要么买了所有前置依赖边,要么直接决策一购买这个点$

$由于u-u'有决策1的边,割掉相当于选择,前面所有依赖边相当于都割掉了$

$又因为有s到u为决策2的边,如果割掉这条边,还需要割掉所有到u的依赖边才可以彻底割掉$

$这就满足了s到t的最小割就是我们的最小决策$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
const int inf=1e9;
int n,m,s,t,dis[maxn],in[maxn];
struct edge{
	int to,nxt,flow;
}d[maxn]; int head[maxn],cnt=1;
void add(int u,int v,int flow){
	d[++cnt]=(edge){v,head[u],flow},head[u]=cnt;
	d[++cnt]=(edge){u,head[v],0},head[v]=cnt;
}
bool bfs()
{
	for(int i=0;i<=t;i++)	dis[i]=0;
	dis[s]=1;
	queue<int>q; q.push( s );
	while( !q.empty() )
	{
		int u=q.front(); q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=d[i].nxt )
		{
			int v=d[i].to;
			if( d[i].flow&&dis[v]==0 )
			{
				dis[v]=dis[u]+1;
				if( v==t )	return true;
				q.push( v );
			}
		}
	}
	return false;
}
int dinic(int u,int flow)
{
	if( u==t )	return flow;
	int res=flow;
	for(int i=head[u];i&&res;i=d[i].nxt )
	{
		int v=d[i].to;
		if( dis[v]==dis[u]+1&&d[i].flow)
		{
			int temp=dinic(v,min(res,d[i].flow) );
			if( temp==0 )	dis[v]=0;
			res-=temp;
			d[i].flow-=temp;
			d[i^1].flow+=temp;
		}
	}
	return flow-res;
}
signed main()
{
	int T; cin >> T;
	while( T-- )
	{
		int z;
		cin >> n >> m >> z;
		s=0,t=n*2+1;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int l,r,w; cin >> l >> r >> w;
			add(l+n,r,w);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int x; cin >> x;
			add(s,i,x);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int x; cin >> x;
			add(i,i+n,x);
		}
		add(z+n,t,inf);
		int ans=0;
		while( bfs() )	ans+=dinic(s,inf);
		cout << ans << endl;
		cnt=1;
		for(int i=0;i<=t;i++)	head[i]=0,in[i]=0;
	}
}