形式语言与自动机总结笔记

形式语言与自动机

• MOOC：形式语言与自动机理论
• GitHub课件资源：gzn00417/2020Spring-Formal-Languages-and-Automata

教学大纲

• 正则语言
  • 2 有穷自动机
    2.1 确定的有穷自动机
    2.2 非确定有穷自动机
    2.3 带有空转移的非确定有穷自动机
  • 3 正则表达式
    3.1 正则表达式
    3.2 自动机和正则表达式
    3.3 正则表达式的代数定律
  • 4 正则语言的性质
    4.1 正则语言的泵引理
    4.2 正则语言的封闭性
    4.3 正则语言的判定性质
    4.4 自动机最小化
• 上下文无关语言
  • 5 上下文无关文法
    5.1 上下文无关文法
    5.2 语法分析树
    5.3 文法和语言的歧义性
    5.4 文法的化简和范式
  • 6 下推自动机
    6.1 下推自动机
    6.2 下推自动机的语言
    6.3 下推自动机与文法的等价性
    6.4 确定性下推自动机
  • 7 上下文无关语言的性质
    7.1 上下文无关语言的泵引理
    7.2 上下文无关语言的封闭性
    7.3 上下文无关语言的判定性质
• 计算导论
  • 8.1 图灵机及其扩展
  • 8.2 不可判定性

主要考点

• 构造自动机：DFA、NFA、ε-NFA、PDA、DPDA、TM
• 设计正则表达式/正则文法、上下文无关文法
• 泵引理+封闭性证明不是正则语言
• 等价性转换
  • NFA和DFA
  • FA和正则表达式
  • PDA和CFG
• CNF和GNF
• 语言的接受和设计

1. 确定的有穷自动机（DFA）

确定的有穷自动机(DFA, Deterministic Finite Automaton) A 为五元组
$A = (Q, Σ, δ, q0, F)$

1. $Q$ : 有穷状态集;
2. $Σ$ : 有穷输入符号集或字母表;
3. $δ$ : $Q × Σ → Q$, 状态转移函数;
4. $q^0$ ∈ Q : 初始状态;
5. $F ⊆ Q$ : 终结状态集或接受状态集.

例：请设计 DFA, 在任何由 0 和 1 构成的串中, 接受含有 01 子串的全部串.

1. 未发现 01, 即使 0 都还没出现过;
2. 未发现 01, 但刚刚读入字符是 0;
3. 已经发现了 01

因此 DFA A 的可定义为:
$A\ = \ (\{ q1,\ q2,\ q3\},\ \{ 0,\ 1\},\ \delta,\ q1,\ \{ q3\})$

• 其中 δ 为:
  $δ(q1, 1) = q1$
  $δ(q2, 1) = q3$
  $δ(q3, 1) = q3$
  $δ(q1, 0) = q2$
  $δ(q2, 0) = q2$
  $δ(q3, 0) = q3$

• 状态转移图
  

  • 每个状态 q 对应一个节点, 用圆圈表示;
  • 状态转移 δ(q, a) = p 为一条从 q 到 p 且标记为字符 a 的有向边;
  • 开始状态 q0 用一个标有 start 的箭头表示;
  • 接受状态的节点, 用双圆圈表示.

• 状态转移表
  

2. 非确定的有穷自动机（NFA）

非确定有穷自动机(NFA, Nondeterministic Finite Automaton) A 为五元组
$A = (Q, Σ, δ, q0, F)$

1. $Q$ : 有穷状态集;
2. $Σ$ : 有穷输入符号集或字母表;
3. $δ$ : $Q \times \Sigma = 2^{Q}$, 状态转移函数;
4. $q^0$ ∈ Q : 初始状态;
5. $F ⊆ Q$ : 终结状态集或接受状态集.

与DFA区别

• $δ$ : $Q \times \Sigma = 2^{Q}$
• 转移后为一个状态集合
• 同一个状态在相同的输入下，可以有多个转移状态
• 自动机可以处在多个当前状态

例：接受全部以 01 结尾的串的 NFA.

扫描二维码关注公众号，回复： 11641820 查看本文章

解：五元组为 $A\ = \ (\{ q0,\ q1,\ q2\},\ \{ 0,\ 1\},\ \delta,\ q0,\ \{ q2\})$
转移函数 δ:

• $\delta(q0,\ 0)\ = \ \{ q0,\ q1\}$
• $\delta(q1,\ 0)\ = \ \varnothing$
• $\delta(q2,\ 0)\ = \ \varnothing$
• $\delta(q0,\ 1)\ = \ \{ q0\}$
• $\delta(q1,\ 1)\ = \ \{ q2\}$
• $\delta(q2,\ 1)\ = \ \varnothing$

3. 带有空转移的非确定有穷自动机（ε-NFA）

DFA、NFA和ε-NFA性质：

• 自动机在某状态, 读入某个字符时, 可能有多个转移
• 自动机在某状态, 读入某个字符时, 可能没有转移
• 自动机在某状态, 可能不读入字符, 就进行转移

ε-NFA与NFA

• 不读入字符，就进行转移的NFA
• $Q \times (\Sigma \cup \left\{ \varepsilon \right\}) = 2^{Q}$

例：语言 $L = {w ∈ {0, 1}∗ | w 倒数 3 个字符至少有一个是 1}$ 的ε-NFA.

• 状态转移图
  
• 状态转移表
  

此后, 不再明确区分 ε-NFA 和 NFA, 而认为它们都是 NFA.

4. DFA和NFA的等价性与转换

$ε-闭包： {q_0} → {所有q_0能到达的状态的集合}$
记为 $Eclose(q)$

例：求以下状态的 $ε - closure$

解：

• $E(1) = \{ 1, 2, 4, 3, 6 \}$
• $E(2) = \{ 2, 3, 6 \}$
• $E(3) = \{ 3, 6 \}$
• $E(4) = \{ 4 \}$
• $E(5) = \{ 5, 7 \}$
• $E(6) = \{ 6 \}$
• $E(7) = \{ 7 \}$

扩展转移函数

例：将以下NFA转换为DFA

解：

• 状态转移表和ε-闭包为
• 设置初状态 $\{q_0 \}$
  • 当输入0时， $\{q_0\} → \{q_0\}$，不变，则 $\{q_0\}$的ε-闭包还是为 $\{q_0\}$
  • 当输入1时， $\{q_0\} → \{q_0, q_1\}$，则 $\{q_0, q_1\}$的ε-闭包为 $\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$
• 因此状态转移函数如下

	$0$	$1$
$\{q_0\}$	$\{q_0\}$	$\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$

• 出现新状态 $\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
  • 当输入0时， $\{q_0, q_1,q_2, q_3\} → \{q_0, q_2, q_3\}$，则 $\{q_0, q_2, q_3\}$的ε-闭包为 $\{q_0, q_2, q_3\}$
  • 当输入1时， $\{q_0, q_1,q_2, q_3\} → \{q_0, q_1,q_2, q_3\}$，则 $\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$的ε-闭包为 $\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$
• 因此状态转移函数如下

	$0$	$1$
$\{q_0\}$	$\{q_0\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$

• 出现新状态 $\{q_0, q_2, q_3\}$
  • 当输入0时， $\{q_0, q_2, q_3\} → \{q_0, q_3\}$，则 $\{q_0, q_3\}$的ε-闭包为 $\{q_0, q_3\}$（红色为原转移，绿色为转移后的闭包）
  • 当输入1时， $\{q_0, q_2, q_3\} → \{q_0, q_1, q_2, q_3\}$，则 $\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$的ε-闭包为 $\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
• 因此状态转移函数如下

	$0$	$1$
$\{q_0\}$	$\{q_0\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$\{q_0, q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_3\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$

• 出现新状态 $\{q_0, q_3\}$
• 同理，因此状态转移函数如下

	$0$	$1$
$\{q_0\}$	$\{q_0\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$\{q_0, q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_3\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$\{q_0, q_3\}$	$\{q_0\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$

• 最后，将 $q_0$设为初始状态，且将含有原转移终止符（ $q_3$）的状态设置为终止状态，即 $\{q_0, q_1,q_2, q_3\}$、 $\{q_0, q_2, q_3\}$、 $\{q_0, q_3\}$均为终止状态

	$0$	$1$
$→\{q_0\}$	$\{q_0\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$* \{q_0, q_1,q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$* \{q_0, q_2, q_3\}$	$\{q_0, q_3\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
$* \{q_0, q_3\}$	$\{q_0\}$	$\{q_0, q_1, q_2, q_3\}$

5. DFA化简：状态等价性和填表算法

5.1 等价和可区分

对于任意两个状态，一定是

• 等价
• 可区分

二者之一

• 等价

  • 即：当两个状态为等价时，对于任意一个输入符，转移状态同时为终止状态或同时不是；
    • 注：不一定相同
    • 因此：不提及两个状态的转移状态是否相同

• 可区分
  

  • 即：当两个状态为可区分时（不等价），存在至少一个输入符，转移状态不同时为终止（不同时为非终止）

例：化简以下DFA

5.2 填表算法 Table-Filling Algorithm

1. 直接标记终态和非终态之间的状态对
2. 标记所有经过字符 0 到达终态和非终态的状态对
   - {D, F }×{A, B, C, E, G, H}
3. 标记所有经过字符 1 到达终态和非终态的状态对
   - {B, H }×{A, C, D, E, F, G}
4. 此时还有 [A,E], [A,G], [B,H], [D,F], [E,G] 未标记, 只需逐个检查.
   - [A,G] 是可区分的, 因为经串 01 到可区分的 [C,E];
   - [E,G] 是可区分的, 因为经串 10 到可区分的 [C,H].
5. [A,E], [B,H] 和 [D,F] 在经过很短的字符串后, 都会到达相同状态，因此都是等价的.

• 填表完成后如下图
  
• 合并等价状态（最小化）
  
  

6. 正则表达式（Regular Express）

语言是字符串集合。
语言的运算：并、连接、幂、克林闭包

递归定义：
如果E为字母表，则2上的正则表达式递归定义为:

• 0是一个正则表达式，表示空语言;
• $ε$是一个正则表达式，表示语言{e};
• 任意 $a∈E$，a是一个正则表达式，表示语言{a};
• 如果正则表达式 r 和 s 分别表示语言 $R$和 $S$，那么 $r+s，rs, r^*和 ( r )$都是正则表达式
• 分别表示语言 $R∪S，R·S，R*和R$

优先级：括号>星（*）>连接（×）>加（+）

例：L = {w | w ∈ {0, 1}∗ and w has no pair of consecutive 0’s.}

• 解：1∗(011∗)∗(0 + ε) 或 (1 + 01)∗(0 + ε)

7. 正则表达式和有穷自动机的等价关系与转换

• 正则表达式与有穷自动机等价
• 有穷自动机可以识别正则语言
• 正则表达式生成正则语言
  
  

7.1 正则表达式–>自动机

正则表达式到自动机的转换分为以下4种

• 连接（乘法）
• 并（加法）
• 幂（星）
• 闭包

例：正则表达式 $(0+1)^*1(0+1)$转换为 $ε-NFA$

7.1.1 并（加号）的转换

例： $0+1$

7.1.2 幂（星号）的转换

例： $(0+1)^*$

• 蓝色圈内为一个整体，表示幂运算的底
• 上方的红箭头是递归，即循环出现
• 下方的红箭头是蓝色圈内内容一个都不出现的情况，对应该题 $ε$，即空串情况
  
  

7.2 自动机–>正则表达式

若干例题

• 通过7.1的逆向推导得出

2.

3.

7.2.1 删除状态法

1. 添加首尾两个状态；
2. 从最小的单元开始化简为正则表达式，去掉这个单元，新增一条边，写上转换的表达式；
3. 最后一条表达式即为结果；
   

7.2.2 归纳法

• Pick every label on the path from $q_0$ to $q_2$ ---- one by one
• Form every $RegExp$ on the path from $q_0$ to $q_2$ ---- one by one

$R_{ij}^{(k)}: 0<=k<=n$： $i$到 $j$路径上的正则表达式

• no inner node is greater than k

当k≥1时进行归纳法
公式：

例：

解：

8. 正则语言的性质

8.1 泵引理

• 确定一个语言是正则语言？
  • 是
    • DFA
    • NFA
    • ε-NFA
    • 正则表达式
  • 否
    • 泵引理，反证法

即：前 $N$的字符中存在一段可以在该位置循环出现
泵引理只是正则语言的必要条件，只能用来证明某个语言不是正则的

证明：

例：

8.2 封闭性

正则语言经某些运算后得到的新语言仍保持正则，称正则语言在这些运算下封闭

正则语言 L 和 M, 在这些运算下封闭

• 并： $L \cup M$
• 连接： $LM$
• 闭包： $L^*$
• 补： $\overline{L}$
• 差： $L-M$
• 交： $L \cap M$
• 反转： $L^{R} = \left\{ w^{R}|w\epsilon L \right\}$
• 同态
• 逆同态

考点：能够运用这些性质，结合泵引理证明一个语言是否是正则语言

自动机的转换

• 并：使用 $ε-NFA$，新建初始状态节点，空转移到原来的初始状态；
• 连接：前者终止状态空转移到后者初始状态；
• 闭包：增加新终止状态，原终止状态空转移到新终止状态以及初始状态；
• 补：终止状态取补
• 差
• 交
• 反转：新增终止状态，原终止状态空转移到新终止状态，然后所有边逆向，是（非）终止状态改为非（是）终止状态；

证明思路

• 略

9. 上下文无关文法（CFG）

定义：上下文无关文法(CFG, 简称文法) G 是一个四元组 $G = (V, T, P, S)$

• $V$ : 变元的有穷集, 变元也称为非终结符或语法范畴;
• $T$: 终结符的有穷集, 且 V ∩ T = ∅;
• $P$: 产生式的有穷集, 每个产生式包括:
  • 一个变元, 称为“产生式的头或左部”；
  • 一个产生式符号 →, 读作“定义为”；
  • 一个 $(V ∪ T)^*$中的符号串, 称为“体或右部”；
• $S ∈V$：初始符号, 文法开始的地方.

产生

• 产生式 $A → α$，读作 A 定义为 α
• 如果有多个 A 的产生式 $A → α_1, A → α_2, · · · , A → α_n$
• 可简写为 $A → α_1 | α_2 | · · · | α_n$
• 文法中变元 A 的全体产生式, 称为 A 产生式

符号

• 终结符: 0, 1, . . . , a, b, . . .
• 终结符串: . . . , w, x, y, z
• 非终结符: S, A, B, . . .
• 终结符或非终结符: . . . , X, Y, Z
• 终结符或非终结符组成的串: α, β, γ, . . .

例：

• 回文
  $G = ({A}, {0, 1}, {A → ε | 0 | 1 | 0A0 | 1A1}, A)$
• L={ w∈{0,1}* | w contains same number of 0’s and 1’s }
  $R = ({S }, {0,1}, P, S )$
  $P：S → ε | 0S1 | 1S0 | SS$

• 从字符串到文法变元的分析过程, 称为递归推理或归约;
  归约: 自底向上, 由产生式的体向头的分析
• 从文法变元到字符串的分析过程, 称为推导或派生.
  派生: 自顶向下, 由产生式的头向体分析

9.1 规约

例：用算数表达式文法 $G_{exp}$, 将 $a ∗ (a + b00)$ 归约的过程

1. E → I
2. E → E + E
3. E → E ∗ E
4. E → (E)
5. I → a
6. I → b
7. I → Ia
8. I → Ib
9. I → I0
10. I → I1

目标：从 $a ∗ (a + b00)$规约到 $E$

解：

• $a ∗ (a + b00)$
• $I ∗ (I + b00)$
• $I ∗ (I + I00)$
• $I ∗ (I + I0)$
• $I ∗ (I + I)$
• $E ∗ (E + E)$
• $E ∗ E$
• $E$

即：

9.2 派生

• 最左派生
• 最右派生

为限制派生的随意性, 要求只替换符号串中最左边变元的派生过程, 称为最
左派生, 记为
$\underset{lm}{\Longrightarrow} 或 \overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}}$
只替换最右的, 称为最右派生, 记为
$\underset{rm}{\Longrightarrow} 或 \overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}}$
任何派生都有等价的最左派生和最右派生

• $A\overset{*}{\Longrightarrow}w$ 当且仅当 $A\overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}}w$ 当且仅当 $A\overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}}w$
• 即：最左和最右派生同时存在或不存在

当 $w$在 $L(G)$中时满足：

• $w$仅由终结符组成
• 初始符号 $S$能派生出 $w$

即：
$L\left( G \right) = \left\{ w\ |\ w\epsilon T^{*},\ S\overset{*}{\underset{G}{\Longrightarrow}}w \right\}$

语言 L 是某个 CFG G 定义的语言, 即 $L = L(G)$, 则称 L 为上下文无关语言(CFL, Context-Free Language).

• 上下文无关是指在文法派生的每一步 $αAβ ⇒ αγβ$，符号串 γ 仅根据 A 的产生式派生, 而无需依赖 A 的上下文 α 和 β.
• 如果有两个文法 CFG G1 和 CFG G2，满足L(G1) = L(G2)，则称 G1 和 G2 是等价的.
• 句型
  • 若 $CFG G = (V, T, P, S)$, 初始符号 S 派生出来的符号串, 称为 G 的句型, 即
  • $\alpha \in \left( V \cup T \right)^{*}$且 $S\overset{*}{\Longrightarrow}a$
  • 如果 $S\overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}}\alpha$，称 $\alpha$为左句型
  • 如果 $S\overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}}\alpha$，称 $\alpha$为右句型
  • 只含有终结符的句型, 也称为 G 的句子
  • 而 L(G) 就是文法 G 全部的句子

9.3 解析树

CFG G = (V, T, P, S) 的语法分析树(语法树或派生树) 为:

• 每个内节点标记为 V 中的变元符号;
• 每个叶节点标记为 V ∪ T ∪ {ε} 中的符号;
• 如果某内节点标记是 A, 其子节点从左至右分别为X1, X2, · · · , Xn
  • 那么 $A → X1X2 · · · Xn ∈ P$
  • 若有 Xi = ε, 则 ε 是 A 唯一子节点, 且 A → ε ∈ P
• 语法树的全部叶节点从左到右连接起来, 称为该树的产物或结果. 如果树根节点是初始符号 S, 叶节点是终结符或 ε, 那么该树的产物属于 L(G).
• 语法树中标记为 A 的内节点及其全部子孙节点构成的子树, 称为 A 子树.

例：

CFG G = (V, T, P, S) 且 A ∈ V , 那么文法 G 中

• $A\overset{*}{\Longrightarrow}\alpha$ 当且仅当 G 中存在以 A 为根节点产物为 α 的语法树

• 每棵语法分析树都有唯一的最左 (右) 派生
• 给定 CFG G = (V, T, P, S), A ∈ V , 以下命题等价:
  1. 通过递归推理, 确定串 w 在变元 A 的语言中
  2. 存在以 A 为根节点, 产物为 w 的语法分析树
  3. $A\overset{*}{\Longrightarrow}w$
  4. $A\overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}}w$
  5. $A\overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}}w$

9.4 歧义

有些文法的歧义性, 可以通过重新设计文法来消除

• 定义同样的语言可以有多个文法, 如果 CFL L 的所有文法都是歧义的，那么称语言 L 是固有歧义的
• 定义同样的语言可以有多个文法, 如果 CFL L 的所有文法都是歧义的, 那么称语言 L 是固有歧义的.
• “判定任何给定 CFG G 是否歧义”是一个不可判定问题

10. 上下文无关文法的化简

文法化简的可靠顺序

1. 消除ε-产生式;
2. 消除单元产生式;
3. 消除非产生的无用符号;
4. 消除非可达的无用符号.

10.1 消除无用符号

• 无用符号：对文法定义语言没有贡献的符号

• 初始符号在派生过程中能派生的语言，前后为若干终止符、中间的单一符号为可达的；
• 某一符号和前后的若干终止符能够最终派生为均为终止符的语言，则其是产生的；
• 可达 + 产生 = 有用
• 非（有用）= 无用 = 非（可达） 或 非（产生）

步骤：

1. 计算“产生的”符号集
   • 每个 T 中的符号都是产生的
   • A → α ∈ P 且 α 中符号都是产生的, 则 A 是产生的
2. 计算“可达的”符号集
   • 符号 S 是可达的
   • A → α ∈ P 且 A 是可达的, 则 α 中符号都是可达的
3. 删除全部含有 “非产生的” 和 “非可达的” 符号的产生式

注：先寻找并消除全部非“产生的”符号，再寻找并消除全部非“可达的”符号，否则可能消除不完整。

• 例：消除如下文法无用符号
  S → AB | a
  A → b
• 解：S → bB | a

10.2 消除ε产生式

步骤：

• 确定“可空变元”
  • 如果 A → ε, 则 A 是可空的
  • 如果 B → α 且 α 中的每个符号都是可空的，则 B 是可空的
• 确定“可空变元”
  • 将含有可空变元的一条产生式 $A → X_1X_2 · · · X_n$用一组产生式 $A → Y_1Y_2 · · · Y_n$代替，其中
    • 若 Xi 不是可空的, Yi 为 Xi
    • 若 Xi 是可空的, Yi 为 Xi 或 ε
    • 但 Yi 不能全为 ε （否则A为可空变元）

例：

• 消除 CFG G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S) 的 ε-产生式.
  S → AB
  A → AaA | ε
  B → BbB | ε

解：

• CFG G′ 为
  S → AB | A | B
  A → AaA | Aa | aA | a
  B → BbB | Bb | bB | b

10.3 消除单元产生式

单元产生式：例如 A → B

步骤：

• 确定“单元对”
  • 如果有 $A\overset{*}{\Longrightarrow}B$, 则称 $[A, B]$ 为单元对
  • A → B ∈ P, 则 [A, B] 是单元对
  • 若 [A, B] 和 [B, C] 都是单元对, 则 [A, C] 是单元对
• 消除单元产生式
  • 删除全部形为 A → B 的单元产生式
  • 对每个单元对 [A, B], 将 B 的产生式复制给 A

例：

• 消除文法的单元产生式
  S → A | B | 0S1
  A → 0A | 0
  B → 1B | 1

解：

• 单位对为 [S, A] 和 [S, B], 带入得:
  S → 0S1
  S → 0A | 0
  S → 1B | 1
  A → 0A | 0
  B → 1B | 1

11. 上下文无关文法的范式

11.1 乔姆斯基范式（CNF）

• 每个不带 ε 的 CFL 都可以由这样的 CFG G 定义, G 中每个产生式的形式都为 $A → BC$ 或 $A → a$

• 这里的 A, B 和 C 是变元, a 是终结符.
• 利用 CNF 派生长度为 n 的串, 刚好需要 2n − 1 步

方法：

例：

• CFG $G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S)$, 产生式集合 P 为:
  $S → bA | aB$
  $A → bAA | aS | a$
  $B → aBB | bS | b$
• 请设计等价的 CNF 文法.

解:

• CNF 为：
  $S → CbA | CaB$
  $A → C_aS | C_bD_1 | a$
  $D1 → AA$
  $C_a → a$
  $B → C_bS | C_aD_2 | b$
  $D2 → BB$
  $C_b → b$

11.2 格雷巴赫范式（GNF）

• 每个不带 ε 的 CFL 都可以由这样的 CFG G 定义, G 中每个产生式的形式都为 $A → aα$
  其中 A 是变元, a 是终结符, α 是零或多个变元的串.

• GNF 每个产生式都会引入一个终结符
• 长度为 n 的串的派生恰好是 n 步

例：

• 将以下文法转换为 GNF.
  S → AB
  A → aA | bB | b
  B → b

解:

• GNF 为
  S → aAB | bBB | bB
  A → aA | bB | b
  B → b

特殊情况：

• 直接左递归
• 间接左递归

12. 下推自动机（PDA）

下推自动机(PDA, Pushdown Automata) P 为七元组
$P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, F)$

1. $Q$, 有穷状态集;
2. $Σ$, 有穷输入符号集;
3. $Γ$, 有穷栈符号集;
4. $δ : Q × (Σ ∪ {ε}) × Γ → 2^{Q×Γ^∗}$, 状态转移函数;
5. $q0 ∈ Q$, 初始状态;
6. $Z_0 ∈ Γ − Σ$, 栈底符号;
7. $F ⊆ Q$, 接收状态集或终态集.

例：设计识别 $L_{01} = \{0^n1^n | n ≥ 1\}$ 的 PDA

例：设计识别 $L_{ww^r} = \{ww^R | w ∈ (0 + 1)^∗\}$ 的 PDA

12.1 瞬时描述（ID）

为描述 PDA 瞬间的格局, 定义 $Q × Σ^∗ × Γ^∗$ 中三元组
$(q, w, γ)$
为瞬时描述(ID, Instantaneous Description), 表示此时 PDA 处于状态 $q$, 剩
余输入串 $w$, 栈为 $γ$.

12.1.1 转移

在 PDA $P$ 中如果 $(p, β) ∈ δ(q, a, Z)$, 由 $(q, aw, Zα)$ 到 $(p, w, βα)$ 的变化, 称为瞬时描述（ID）的转移 $⊢_P$, 记为
$(q, aw, Zα) ⊢_P (p, w, βα)$
其中 $w ∈ Σ^∗, α ∈ Γ^∗$.
若有瞬时描述（ID） $I$, $J$ 和 $K$, 递归定义 $⊢^*_P$ 为:

1. $I ⊢^*_P I$
2. 若 $I ⊢^*_P J$, $J ⊢^*_P K$，则 $I ⊢^*_P K$

若 $P$ 已知, 可省略, 记为 $⊢$ 和 $⊢^*$ .

例：语言 $L_{01} = \{0^n1^n | n ≥ 1\}$ 的 PDA, 识别 0011 时的 ID 序列.

解：
$(q_0, 0011, Z_0) ⊢ (q_0, 011, 0Z_0) ⊢ (q_0, 11, 00Z_0) ⊢ (q_1, 1, 0Z_0) ⊢ (q_1, ε, Z_0) ⊢ (q_2, ε, Z_0)$

定理：

1. 对 $∀w ∈ Σ^∗, ∀γ ∈ Γ^∗$, 如果
   $(q, x, α) ⊢^*_P (p, y, β),$
   那么
   $(q, xw, αγ) ⊢^*_P (p, yw, βγ)$
   即：在可以转移的两个瞬时描述的剩余输入串后加入相同的剩余输入串、栈后加入相同的栈，仍然可以转移；

2. 对 $∀w ∈ Σ^∗$, 如果
   $(q, xw, α) ⊢^*_P (p, yw, β),$
   那么
   $(q, x, α) ⊢^*_P (p, y, β)$
   即：在可以转移的两个瞬时描述的剩余输入串后删除相同的输入串，仍然可以转移；

12.2 下推自动机接受的语言（终态/空栈）

PDA $P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, F)$, 以两种方式接受语言:

• P 以终态方式接受的语言, 记为 $L(P)$, 定义为 $L(P) = {w | (q_0, w, Z_0) ⊢^*(p, ε, γ), p ∈ F}.$
• P 以空栈方式接受的语言, 记为 $N(P)$, 定义为 $N(P) = {w | (q_0, w, Z_0) ⊢^*(p, ε, ε)}.$

定理及证明（构造）方法：

• 如果 PDA $P_F$ 以终态方式接受语言 L，那么一定存在 PDA $P_N$ 以空栈方式接受 L： $P_F = (Q, Σ, Γ, δ_F, q_0, Z_0, F)$ 构造 $P_N = (Q ∪ \{p_0, p\}, Σ, Γ ∪ \{X0\}, δ_N, p_0, X_0, ∅)$
  终止状态时，空转移到 $p$、弹栈栈底符号
• 反之亦然： $P_N = (Q, Σ, Γ, δ_N, q_0, Z_0, ∅)$ 构造 $P_F = (Q ∪ \{p_0, p_f\}, Σ, Γ ∪ \{X_0\}, δ_F, p_0, X_0, \{p_f\})$
  空栈时，空转移到新建的终止状态 $p_f$

例1：识别 $L_{ww^r}$ 的 PDA $P$ , 从终态方式接受, 改为空栈方式接受.

• 解：
  用 $δ(q_1, ε, Z_0) = \{(q_1, ε)\}$ 代替 $δ(q_1, ε, Z_0) = \{(q_2, Z_0)\}$ 即可
  

例2：接受 $L = \{w ∈ \{0, 1\}^∗ | w 中字符 0 和 1 的数量相同\}$ 的 PDA

• 栈空时，压栈；
• 栈不空时：
  • 若输入符与栈顶相同，压栈；
  • 若输入符与栈顶不同，弹栈；
• 栈空为接受状态。

例3：接受 $L = \{0^n1^m | 0 ≤ n ≤ m ≤ 2n\}$ 的 PDA

• 定义：左、中、右、下4个状态
• 左状态：读入0（自身递归转移）
  • 转移到中状态：空转移（栈中有0或无0都可）
• 中状态：读入1
  • 转移到下状态：（栈中有至少一个0，至少连续2个1）读入一个1，不弹栈
  • 下状态转移回来：再读入一个1，弹栈
  • 和下状态的一个来回读入2个1
  • 自身转移：当1的个数是奇数
• 右状态：空栈，结束
  

13. CFG $\Longleftrightarrow$PDA（等价性）

13.1 CFG $\Longrightarrow$PDA

例：设计语言 $L = \{0^n1^m | 1 ≤ m ≤ n\}$ 的 PDA，并转换为CFG
解：

• PDA：
  

• CFG G:
  $S → AB$
  $A → 0A | ε$
  $B → 0B1 | 01$

• 字符串 00011 的最左派生:
  $S \underset{lm}{\Longrightarrow} AB \underset{lm}{\Longrightarrow} 0AB \underset{lm}{\Longrightarrow} 0B \underset{lm}{\Longrightarrow} 00B1 \underset{lm}{\Longrightarrow} 00011$

用 PDA 栈顶符号的替换, 模拟文法的最左派生

• 栈顶为变元：输入 $ε$，变元派生（如： $ε, S → 0S1$）
• 栈顶为终结符：输入非空字符，输入串减少，栈顶弹出

• 例解：
  

13.2 PDA $\Longrightarrow$CFG

如果 PDA $P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, ∅)$, 那么构造 CFG $G = (V, Σ, P^′, S)$, 其中
$V$ 和 $P^′$ 为

1. $V = \{[qXp] | p,q ∈Q, X ∈ Γ\} ∪ \{S\}$;
2. 对 $∀p ∈ Q$, 构造产生式 $S → [q_0Z_0p]$;
3. 对 $∀(p, Y_1Y_2 · · · Y_n) ∈ δ(q, a, X)$, 构造 $|Q|n$ 个产生式
   $[qXr_n] → a[pY_1r_1][r_1Y_2r_2] · · · [r_{n−1}Y_nr_n]$
   其中 $a ∈ Σ ∪ \{ε\}$, $X,Y_i ∈ Γ$, 而 $r_i ∈ Q$ 是 $n$ 次 $|Q|$ 种状态的组合; 若 $i = 0$, 为 $[qXp] → a$.

简单记忆

• $\delta(a, b, c)=(d, e f)$ 转换为 $[acr_2]\rightarrow b[der_1][r_1fr_2]$
• $\delta(a, b, c)=(d, e)$ 转换为 $[acr_1]\rightarrow b[der_1]$
• $\delta(a, b, c)=(d, ε)$ 转换为 $[acd]\rightarrow b$
• 最后用有穷状态集带入 $r_1 r_2$

例：将 PDA P = ({p, q}, (0, 1), {X, Z}, δ, q, Z) 转为 CFG, 其中 δ 如下：

解：

化简：

14. GNF $\Longrightarrow$PDA

如果 GNF 格式的 CFG $G = (V, T, P^′, S)$, 那么构造 PDA
$P = (\{q\}, T, V, δ, q, S, ∅)$
为每个产生式, 定义 δ 为:
$δ(q, a, A) = \{(q, β) | A → aβ ∈ P^′\}$

即：每次读入终结符，将栈中变元进行派生（弹栈+压栈），直到栈中均为终结符。

例：文法 $S → aAA, A → aS | bS | a$ 为 GNF 格式, 构造等价的 PDA

15. 确定性下推自动机（DPDA）

如果 PDA $P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, F)$ 满足

1. $∀a ∈ Σ ∪ \{ε\}$, $δ(q, a, X)$ 至多有一个动作;
2. $∀a ∈ Σ$, 如果 $δ(q, a, X) \neq ∅$, 那么 $δ(q, ε, X) = ∅.$

$∀(q, a, Z) ∈ Q × Σ × Γ$ 满足 $|δ(q, a, Z)| + |δ(q, ε, Z)| ≤ 1$
即：每一个瞬时描述下至多有一个转移状态（可以无动作）

则称 $P$ 为确定型下推自动机（DPDA）

• DPDA $P$ 以终态方式接受的语言 $L(P)$ 称为确定性上下文无关语言（DCFL）

• 注：DPDA 与 PDA 不等价

例：任何 DPDA 都无法接受 $L_{ww^r}$, 但是可以接受
$L_{wcw^r} = \{wcw^R | w ∈ (0 + 1)^∗\}$
设计DPDA

DCFL 的重要应用

• 非固有歧义语言的真子集
• 程序设计语言的语法分析器
• LR(k) 文法, Yacc 的基础, 解析时间复杂度为 O(n)

• 如果 $L$ 是正则语言, 那么存在 DPDA $P$ 以终态方式接受 $L$, 即 $L = L(P)$
• 证明: 显然，DPDA $P$ 可以不用栈而模拟任何 DFA。
• 结论： $正则语言 ⊆ DCFL ⊆ CFL$

• 前缀性质：如果语言 L 中不存在字符串 x 和 y, 使 x 是 y 的前缀, 称语言 L 满足前缀性质.
• DPDA $P$ 且 $L = N(P)$, 当且仅当 $L$ 有前缀性质, 且存在 DPDA $P^′$ 使 $L = L(P ′)$.
• DPDA $P$ 的 $N(P)$ 更有限, 即使正则语言 $0^∗$ 也无法接受
• 但却可以被某个 DPDA 以终态方式接受

DPDA 与歧义文法

DPDA $P$, 语言 $L = L(P)$, 那么 $L$ 有无歧义的 CFG

• 因此 DPDA 在语法分析中占重要地位
• 但是并非所有非固有歧义 CFL 都会被 DPDA 识别
  如 $L_{ww^r}$有无歧义文法 $S → 0S0 | 1S1 | ε$

16 上下文无关语言的泵引理

如果语言 $L$ 是 CFL, 那么存在正整数 $N$, 对 $∀z ∈ L$,
只要 $|z| ≥ N$, 就可以将 $z$ 分为五部分 $z = uvwxy$ 满足:

1. $vx \neq ε$ (或 $|vx| > 0$);
2. $|vwx| ≤ N$;
3. $∀i ≥ 0, uv^iwx^iy ∈ L$.

例：证明 $L = \{0^{n}1^{n}2^{n} | n ≥ 1\}$ 不是上下文无关语言

解：

1. 假设 $L$ 是 CFL, 那么存在整数 N, 对 $∀z ∈ L (|z| ≥ N)$ 满足泵引理.
2. 从 $L$ 中取 $z = 0^N1^N2^N$, 则显然 $z ∈ L$ 且 $|z| = 3N ≥ N$.
3. 由泵引理, $z$ 可被分为 $z = uvwxy$, 且有 $|vwx| ≤ N$ 和 $vx \neq ε$.
4. 那么 $vwx$ 可能
   • 只包含 0, 1 或 2, 那么 $uwy \notin L$;
   • 只包含 0 和 1, 或只包含 1 和 2, 那么也有 $uwy \notin L$;
5. 与泵引理 $uwy = uv_0wx_0y ∈ L$ 矛盾, 假设不成立.
6. $L$ 不是上下文无关的

例：证明 $L = \{ww | w ∈ {0, 1}^∗\}$ 不是上下文无关的

(错误的) 证明: 假设 $L$ 是 CFL. 取 $z = 0^N10^N1$, 那么 $z = uvwxy$ 为

则对任意 $i ≥ 0$, 有 $uv^iwx^iy ∈ L$, 满足泵引理.

(正确的) 证明: 假设 $L$ 是 CFL. 取 $z = 0^N1^N0^N1^N$, 将 $z$ 分为 $z = uvwxy$ 时

1. 若 $vwx$ 在 $z$ 中点的一侧, $uv_0wx_0y$ 显然不可能属于 $L$;
2. 若 $vwx$ 包括 $z$ 中点, 那么 $uv_0wx_0y$ 为 $0^N1^i0^j1^N$, 也不可能属于 $L$.
   所以假设不成立, $L$ 不是 CFL

17 上下文无关语言的封闭性

封闭

• 并
• 连接
• 闭包
• 同态
• 逆同态
• 反转

不封闭

• 交
• 补运算

17.1 代换

两个字母表 $\Sigma$ 到 $\Gamma$ 的函数 $s\ :\ \Sigma\ \rightarrow 2^{\Gamma^{*}}$ 称为代换. $\Sigma$ 中的一个字符 $a$ 在 $s$ 的作用下为
$\Gamma$ 上的一个语言 $L_{a}$, 即

$s(a)\ = \ La$

扩展 $s$ 的定义到字符串,

$s(\varepsilon)\ = \ \varepsilon$

$s(xa)\ = \ s(x)s(a)$

再扩展 $h$ 到语言, 对 $\forall\text{L\ } \subseteq \ \Sigma^{*}$

$s(L)\ = \ \bigcup_{x \in L}^{}{s(x)}$

• 定理：如果有 $Σ$ 上的 CFL $L$ 和代换 $s$, 且每个 $a ∈ Σ$ 的 $s(a)$ 都是 CFL, 那么 $s(L)$ 也是 CFL

• 即：可以把CFL的每个终结符扩展为一个CFL，生成的语言还是CFL

具体构造方法：

设 CFL $L$ 的文法 $G\ = \ (V,\ T,\ P,\ S)$, 每个 $s(a)$ 的文法 $G_{a} = \ (V_{a},\ T_{a},\ P_{a},\ S_{a})$.

那么 $s(L)$ 的文法可以构造为

$G'\ = \ (V\ ',\ T\ ',\ P\ ',\ S)\$

1. $V^{'}=V \cup (\bigcup_{a \in T}^{}V_{a}\ )$

2. $T^{'}=\bigcup_{a \in T}^{}T_{a}$

3. $P^{'}$包括每个 $P_{a}$ 和 $P$ 中产生式，但是要将 $P$的产生式中每个终结符 $a$均替换为文法 $G_{a}$ 的开始符号 $S_{a}$.

17.2 封闭性应用

例： 请证明语言 $L$ 不是 CFL $L = \{w ∈ {\{a, b, c\}}^∗ | n_a(w) = n_b(w) = n_c(w)\}$，其中 $n_a(w)$ 表示 $w$ 中 $a$ 的个数.

证明:

1. 因为 $a^∗b^∗c^∗$ 是正则语言,
2. 而 $L ∩ a^∗b^∗c^∗ = \{a^nb^nc^n | n ≥ 0\}$ 不是 CFL,
3. 由 CFL 与正则语言的交还是 CFL, 所以 $L$ 不可能是 CFL

18 上下文无关语言的判定性质

18.1 可判定的 CFL 问题

空性: 只需判断文法的开始符号 S 是否为非产生的
有穷性和无穷性:

1. 用不带无用符号的 CNF 的产生式画有向图;
2. 变元为顶点, 若有 A → BC, 则 A 到 B 和 C 各画一条有向边;
3. 检查图中是否有循环.

成员性: 利用 CNF 范式, 有CYK算法检查串 w 是否属于 L

18.2 CYK算法

例：CNF $G$ 如下, 用 CYK 算法判断 $bbabaa ∈ L(G)$?

解：

$S → AB | BC$
$A → BA | a$
$B → CC | b$
$C → AB | a$

• 填写最下层（单个终结符是否有可达）
  

• 计算上面若干行
  
  
  

• 结果
  

• 因为 $S ∈ X_{16} = \{S, A\}$, 所以 $bbabaa ∈ L(G)$

18.3 不可判定的 CFL 问题

1. 判断 CFG $G$ 是否歧义的?
2. 判断 CFL 是否固有歧义的?
3. 两个 CFL 的交是否为空?
4. 两个 CFL 是否相同?
5. 判断 CFL 的补是否为空? 尽管有算法判断 CFL 是否为空
6. 判断 CFL 是否等于 $Σ^∗$?

19. 图灵机

FA	PDA	TM
( $Q$, $\Sigma$, $\delta$, $q_0$, $F$)	( $Q$, $\Sigma$, $\Gamma$, $\delta$, $q_0$, $z_0$, $F$)	( $Q$, $\Sigma$, $\Gamma$, $\delta$, $q_0$, $B$, $F$)

• 图灵机(TM, Turing Machine) $M$ 为七元组
  $M = (Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,B,F)$

1. $Q$: 有穷状态集;
2. $Σ$: 有穷输入符号集;
3. $Γ$: 有穷带符号集, 且总有 $Σ ⊂ Γ$;
4. $δ: Q × Γ → Q × Γ × \{L, R\}$ 转移函数;
5. $q_0 ∈ Q$: 初始状态;
6. $B ∈ Γ − Σ$: 空格符号;
7. $F ⊆ Q$: 终态集或接受状态集.

与有穷自动机区别：

• 可修改（必须修改，但可以相同）
• 可向左或向右移动输入带
• 有空格符号

例：设计识别 $\{0^n1^n | n ≥ 1\}$ 的图灵机

解：

• 每次标记一个0和一个1
• 标记0为X（X=“0已标记”）之后，越过所有未标记的0和已标记的1，将1标记为Y（Y=“1已标记”）
• 无未标记1后向右找到空格B，结束

$M = (\{q0, q1, q2, q3, q4\}, \{0, 1\}, \{0, 1, X, Y, B\}, δ, q_0, B, \{q4\})$

19.1 瞬时描述（ID）

图灵机虽有无穷长的带, 但经过有限步, 带上非空内容总是有限的. 因此用全部非空符号、当前状态及带头位置, 定义图灵机的瞬时描述(ID)为
$X_1X_2 · · · X_{i−1}qX_iX_{i+1} · · · X_n$

1. 图灵机的当前状态 $q$
2. 带头在左起第 $i$ 个非空格符 $X_i$ 上
3. $X_1X_2 · · · X_n$是最左到最右非空格内容

如果 $δ(q, Xi) = (p, Y, L)$, 定义 ID 转移为
$X_1 · · · X_{i−1}qX_i · · · X_n ⊢ X_1 · · · X_{i−2}pX_{i−1}YX_{i+1} · · · X_n$

续例：设计识别 $\{0^n1^n | n ≥ 1\}$ 的图灵机, 接受 0011 的 ID 序列

解：
$q00011 ⊢ Xq1011 ⊢ X0q111 ⊢ Xq20Y1 ⊢ q2X0Y1 ⊢ Xq00Y1 ⊢ XXq1Y1 ⊢ XXYq11 ⊢ XXq2Y Y ⊢ Xq2XYY ⊢ XXq0YY ⊢ XXYq3Y ⊢ XXYYq3B ⊢ XXYYBq4B$

19.2 递归可枚举语言

如果 M 是一个图灵机，则 M 接受的语言为
$L(M) = \{w | w ∈ Σ^∗, q_0w ⊢*αpβ, p ∈ F, α, β ∈ Γ^∗\}$

如果 $L$ 是图灵机 $M $的语言, 即 $L = L(M)$, 则称 $L$ 是递归可枚举语言.

一般假定, 当输入串被接受时, 图灵机总会停机
然而, 对于不接受的输入, 图灵机可能永远不停止

对接受和不接受的输入, 都保证停机的图灵机, 所接受的语言称为递归语言

19.3 真减法

例：Compute the function nomus (m, n)=max(m-n,0)

解：

• put 1m01n into tape as input
• delete a 1 from 1m and a 1 from 1n
  

19.4 乘法

例：Construct a TM to compute m×n

3 × 2 = 2 + 2 + 2