【算法笔记】4.4 贪心

• 这是《算法笔记》的读书记录
• 本文参考自4.4节

---

1. 简单贪心

• 贪心法是求解一类最优化问题的方法他，它总是考虑当前状态下的局部最优的策略，来使全局结果达到最优
• 不是所有问题都能用贪心法解决，因此要严谨地使用贪心算法，需要对策略进行证明。证明的一般思路是使用反证法及数学归纳法，先假设策略不能达到最优，然后根据一系列推到得出矛盾，从而证明策略是最优的，最后通过数学归纳法保证全局最优
• 真正做题的时候，往往没有时间严谨证明（给出一个严谨的证明往往比写出算法本身更难）。所以一般只要想到贪心似乎可行，且举不出反例，就可以用贪心做一下试试
• 示例：
  1. PAT乙级 —— 1010 月饼 (25)
  2. PAT乙级 —— 1013 组个最小数 (20)

2. 区间贪心

（1）区间不相交问题

• 来看一个稍微复杂一点的问题，现有多个开区间，要从中找出尽量多的区间，使得找出部分两两互不相交

• 先考虑最简单的情况，如下图，I1被I2包含，这时应该选I1，给其他区间留出更大的空间
  

• 现在假设通过上述方法去除了所有发生包含的区间，把剩下的区间按左端点从大到小排序，从上往下画如下。 这样每一个区间，都可以被它相邻那个的右端点分成两段（如I1被I2右端点分成两段），其中右边部分是不和任何区间重合的，左边部分和相邻区间又组成了上面简单情况的关系，因此应该选上面的那个区间（I1）
  

• 现在考察一个一般情况，这里没有去除发生包含的区间，先按左端点从大到小排序，再按右端点从小到大排序，从上往下画如下。根据上面的分析，这里应该选E1，E2
  

• 总结一下，总是选择左端点最大的区间（当左端点相同时选右端点最小的），依次往后找出所有不相交的区间即可

  #include<cstdio>
  #include<iostream>
  #include<algorithm>
  using namespace std;
  
  struct Inteval
  {
        
        
  	int x,y;	//左右端点 
  }I[110];
  
  bool cmp(Inteval a,Inteval b)
  {
        
        
  	if(a.x!=b.x)
  		return a.x>b.x;	//左端点大到小
  	return a.y<b.y;		//右端点小到大 
  } 
  
  int main()
  {
        
        
  	int n;						//区间个数 
  	while(scanf("%d",&n),n!=0)
  	{
        
        
  		for(int i=0;i<n;i++)
  			scanf("%d%d",&I[i].x,&I[i].y);
  		
  		sort(I,I+n,cmp);
  		
  		int ans = 1;			//不相交区间计数 
  		int lastX = I[0].x;		//记录上一个区间左端点 
  		
  		for(int i=1;i<n;i++)
  		{
        
        
  			if(I[i].y<=lastX)
  			{
        
        
  				lastX = I[i].x;
  				ans++;
  			}	
  		}	
  		
  		printf("%d",ans);
  	} 
  	
  	return 0;
  }
  

（2）区间选点问题

• 区间选点问题和区间不相交问题类似：给定若干区间，问至少要几个点，才能使每个区间中都至少存在一个点
• 先考虑最简单的情况，如下图，I1被I2包含，这时应在I1中选一个点
  
• 现在假设通过上述方法去除了所有发生包含的区间，把剩下的区间按左端点从大到小排序，从上往下画如下。现在对于I1来说，选哪个点可以尽量多地覆盖其他区间？显然是左端点。
  
• 事实上，这个问题和区间不相交问题的代码也几乎完全一致，只要把if(I[i].y<=lastX)改成if(I[i].y<lastX)就行了。我们只要仿照上面的方法找出所有不相交区间，可以保证其他区间总有一部分和找出的区间重合，所以在每个找出的区间上放一个点就行了，只不过这里不能出现两个区间公用端点的情况

3. 小结

• 总的来说，贪心是用来解决一类最优化问题，并希望由局部最优解来推全局最优解的算法思想。
• 贪心算法适用的问题一定满足最优子结构性质：即一个问题的最优解可以由其子问题的最优解有效构建出来
• 不是所有问题都适用与贪心算法