单调队列优化
对于转移方程
f x = min k = p x x − 1 { g k } + w x f_x=\min _{k=p_x}^{x-1}\{g_k\}+w_x fx=k=pxminx−1{ gk}+wx
其中 p x p_x px 单调不降。如果存在两个数 j , k j,k j,k 有 j ≤ k j \leq k j≤k 且 g k ≤ g j g_k \leq g_j gk≤gj，那么决策 j j j 是无用的。这意味着我们的最优决策表单调不降，所以可以用一个单调递增的队列进行优化。流程如下
- 队首元素不断出队，直到队首元素在给定范围中，此时队首元素就是状态 f x f_x fx 的最优决策。
- 计算 g x g_x gx，并插入单调队列的尾部，同时维护队列单调递增性。
- 重复上述步骤，可以发现每个状态只入队和出队一次，时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。
斜率优化
直接讲比较迷，拿 HNOI2008 玩具装箱为栗子。
设 f i f_i fi 是装好前 i i i 个玩具的花费，枚举从那个玩具开始放。 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的转移方程如下
令 s i = ∑ k = 1 i c k s_i = \sum_{k=1}^i c_k si=∑k=1ick 有
f i = min j = 0 i − 1 f j + ( s i − s j + i − j − 1 − L ) 2 f_i = \min_{j=0}^{i - 1} f_j+(s_i-s_j + i - j - 1 - L)^2 fi=j=0mini−1fj+(si−sj+i−j−1−L)2
再令 s i = ∑ k = 1 i c k + i s_i = \sum_{k=1}^i c_k+i si=∑k=1ick+i， L = L + 1 L = L+1 L=L+1 有
f i = min j = 0 i − 1 f j + ( s i − s j − L ) 2 化简得 f i = s i 2 − 2 s i × L + f j + ( s j + L ) 2 − 2 s i s j 移同类项得 f j + ( s j + L ) 2 = 2 s i s j + f i − s i 2 + 2 s i × L f_i = \min_{j=0}^{i - 1} f_j+(s_i-s_j -L)^2 \\ \text{化简得}\\ f_i=s_i^2-2s_i \times L+f_j+(s_j+L)^2-2s_is_j \\ \text{移同类项得}\\ f_j+(s_j+L)^2 =2s_is_j+ f_i - s_i^2 + 2s_i \times L\\ fi=j=0mini−1fj+(si−sj−L)2化简得fi=si2−2si×L+fj+(sj+L)2−2sisj移同类项得fj+(sj+L)2=2sisj+fi−si2+2si×L
令 y = f j + ( s j + L ) 2 y = f_j+(s_j+L)^2 y=fj+(sj+L)2、 k = 2 s i k = 2s_i k=2si、 x = s j x =s_j x=sj、 b = f i − s i 2 + 2 s i × L b = f_i - s_i^2 + 2s_i \times L b=fi−si2+2si×L。那么得到了
y = k x + b y = kx + b y=kx+b
其中 x x x 满足单调递增性，所以不用对柿子取反。同时， k k k 和关于 j j j 的解析式 y y y 也单调递增，而 b b b 中有要转移的 f i = b + s i 2 − 2 s i × L f_i = b + s_i^2 - 2s_i \times L fi=b+si2−2si×L。
可以发现斜率 k k k 数已知的，并且 b − f i b - f_i b−fi 也是已知的。如果能求出一个点对 ( x , y ) (x,y) (x,y)，就可以求出 b b b，进而求出 f i f_i fi。要让 f i f_i fi 最小就要让 b b b 最小，如果把 ( x , y ) (x,y) (x,y) 展现在坐标系上，我们用一条斜率为 k k k 的直线从右下方向左上方移动，第一个在直线上的 ( x , y ) (x,y) (x,y) 即为需要的点。
考虑加一个点得到了直线 k 2 k_2 k2，之前可选的点集中有一条直线 k 1 k_1 k1。如果 k 2 > k 1 k_2 > k_1 k2>k1，那么加的点在以后可能用到，因为随着斜率的单调递增，选的点也逐渐靠上。如果 k 1 < k 2 k_1 < k_2 k1<k2，那么 k 1 k_1 k1 能交的线， k 2 k_2 k2 一定比它先交，所以 k 1 k_1 k1 可以从点集中删除。
所以要维护的点集是一个下凸包。下凸包所有点的斜率是单调递增的，而且下凸包的下方没有其它的点。用单调队列维护，实现有亿点点细节。
