Python描述数据结构之图的存储结构篇

前言

  本篇章主要介绍图，包括图的定义、相关术语、性质及存储结构，并用Python代码实现。

1. 图的定义

  图是一种比树更复杂的一种数据结构，在图结构中，结点之间的关系是任意的，任意两个元素之间都可能相关，因此，它的应用极广。图中的数据元素通常被称为顶点$(Vertex)$，$V$是顶点的有穷非空集合，$VR$是两个顶点之间的关系的集合(可以为空)，可以表示为图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={ V,{ VR}}。

2. 相关术语

2.1 无向图

  给定图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={ V,{ E}}，若该图中每条边都是没有方向的，则称其为无向图$(Undigraph)$。对图$G$中顶点$v$和顶点$w$的关系，可用无序对$(v,w)$表示，它是连接$v$和$w$的一条边$(Edge)$。

2.2 有向图

  给定图 G = { V , { A } } G=\{V,\{A\}\} G={ V,{ A}}，若该图中每条边都是有方向的，则称其为有向图$(Digraph)$。对图$G$中顶点$v$和顶点$w$的关系，可用有序对$<v,w>$表示，它是从$v$到$w$的一条弧$(Arc)$，其中$v$被称为弧尾$(Tail)$，$w$被称为弧头$(Head)$。

  弧尾也叫初始点$(Initial$ $Node)$，弧头也叫终端点$(Terminal$ $Node)$。

2.3 完全图

  对于任一无向图，若其顶点的总数目为$n$，边的总数目为$e=\frac{n(n-1)}{2}$，则称其为完全图$(Completed$ $Graph)$。

2.4 有向完全图

  对于任一有向图，若其顶点的总数目为$n$，边的总数目为$e=n(n-1)$，则称其为有向完全图。

2.5 稀疏图和稠密图

  对于具有$n$个顶点，$e$条边或弧的图来说，若$e$很小，比如$e<n\log n$，则称其为稀疏图$(Sparse$ $Graph)$，反之称其为稠密图$(Dense$ $Graph)$。

2.6 权和网

  赋予图中边或弧的数值称为权$(Weight)$，它可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离；带权的图称为网$(Network)$。

2.7 稀疏网和稠密网

  带权的稀疏图、稠密图称为稀疏网、稠密网。

2.8 子图

  对于图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={ V,{ E}}和图 G ′ = { V ′ , { E ′ } } G'=\{V',\{E'\}\} G′={ V′,{ E′}}，若$V^{\prime }\subseteq V$且$E^{\prime }\subseteq E$，则称$G^{\prime }$为$G$的子图$(Subgraph)$。

2.9 邻接点

  对于无向图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={ V,{ E}}，若$v\in V$、$w\in V$且$(v,w)\in E$，则称顶点$v$和顶点$w$互为邻接点$(Adjacent)$，并称边$(v,w)$依附$(Incident)$于顶点$v$和顶点$w$，或称边$(v,w)$与顶点$v$和顶点$w$相关联。
  对于有向图 G = { V , { A } } G=\{V,\{A\}\} G={ V,{ A}}，若$v\in V$、$w\in V$且$<v,w>\in A$，则称顶点$v$邻接到顶点$w$，顶点$w$邻接自顶点$v$，并称弧$<v,w>$与顶点$v$和顶点$w$相关联。

2.10 度、入度与出度

  在无向图中，顶点$v$的度$(Degree)$等于与该顶点相关联的边的数目，记为$TD(v)$。
  在有向图中，顶点$v$的度等于该顶点的入度与出度之和，记为$TD(v)=ID(v)+OD(v)$，其中顶点$v$的入度$(InDegree)$为以该顶点为弧头的弧的数目，记为$ID(v)$，顶点$v$的出度$(OutDegree)$为以该顶点为弧尾的弧的数目，记为$OD(v)$。

2.11 路径、简单路径与路径长度

  路径$(Path)$是任意两个有关联的顶点之间的边或弧，在图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={ V,{ VR}}中，顶点$v_1$到顶点$v_n$的路径是一个顶点序列$(v_1,v_2,\dots ,v_i,v_j,\dots ,v_n)$，对于上述序列中的任意相邻的顶点$v_i$和$v_j$，若图$G$是无向图，则有$(v,w)\in E$，若图$G$是有向图，则有$<v,w>\in A$。
  对于给定的一条路径，若该路径对应的序列中的顶点不重复，则称为该路径为简单路径。
  路径上边或弧的数目称为路径长度。

2.12 回路与简单回路

  若某一路径中的第一个顶点和最后一个顶点相同，则称该路径为回路，也称为环$(Cycle)$。
  在某一回路中，若除去第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点均不重复，则称为该回路为简单回路，也称为简单环。

2.13 连通图与连通分量

  在无向图中，若从顶点$v$到顶点$w$有路径，则称为$v$到$w$是连通的，若该图中的任意两个顶点间都是连通的，则称该图为连通图$(Connected$ $Graph)$。无向图中的极大连通子图称为连通分量$(Connected$ $Component)$。这里的极大就是尽可能地包含更多的顶点。

2.14 强连通图与强连通分量

  在有向图中，若从顶点$v$到顶点$w$有路径，从顶点$w$到顶点$v$也有路径，则称为$v$和$w$是强连通的，若该图中的任意两个顶点间都是强连通的，则称该图为强连通图。有向图中的极大连通子图称为强连通分量。

2.15 生成树、最小生成树与生成森林

  具有$n$个顶点的连通图的极小连通子图称为生成树，生成树包含这一连通图的$n$个顶点和$n-1$条边。这里的极小是尽可能少地包含边。
  通常把各边带权的连通图称为连通网，在连通网的所有生成树中，对每一棵生成树的各边权值求和，其中权值最小的生成树称为该连通网的最小生成树。
  非连通图的各连通分量的生成树组成的森林称为生成森林。

3. 图的性质

3.1 性质1

  若图中有$n$个顶点$v_1,v_2,\dots ,v_n$，$e$条边或弧，其中顶点的度分别为$TD(v_1),TD(v_2),\dots ,TD(v_n)$，则有
$$e=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}TD(v_i)$$

3.2 性质2

  一棵有$n$个顶点的生成树有且仅有$n-1$条边。

4. 图的存储结构

4.1 邻接矩阵

  用于无向图、有向图

  在存储含有$n$个结点的图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={ V,{ VR}}时，将图中的所有顶点存储在长度为$n$的一维数组中，将图中边或弧的信息存储在$n\times n$的二维数组中，我们称这个二维的数组为邻接矩阵。假设图$G$中顶点$v$和顶点$w$在一维数组中的下标分别为$i$、$j$，则该图对应各邻接矩阵定义如下：
  若该图为无向图或有向图，则
$$Arcs[j][j]=\{\begin{array}{ll}1,& (v,w)\in E或<v,w>\in A\\ & \\ 0,& 其他\end{array}$$  若该图为无向网或有向网，则
$$Arcs[j][j]=\{\begin{array}{ll}{w}_{ij},& (v,w)\in E或<v,w>\in A\\ & \\ \infty ,& 其他\end{array}$$  其中，$w_{ij}$为边或弧对应的权值。

  定义图中的顶点：

class VertexMatrix(object):
    """
    图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.info = None

  定义图：

class GraphMatrix(object):
    """
    图的邻接矩阵
    """
    def __init__(self, kind):
        # 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 顶点表
        self.vertexs = []
        # 边表, 即邻接矩阵, 是个二维的
        self.arcs = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

  无向图及其邻接矩阵、有向网及其邻接矩阵如下：
$$Arcs=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right]Arcs=\left[\begin{array}{cccc}\infty & 1& 2& \infty \\ \infty & \infty & 3& \infty \\ \infty & \infty & \infty & 4\\ \infty & \infty & \infty & \infty \end{array}\right]$$

  邻接矩阵的特点如下：
  (1) 由于在创建邻接矩阵时，输入顶点的顺序不同，其相应的邻接矩阵也是不同的；
  (2) 对于含有$n$个顶点的图，其邻接矩阵一定是$n\times n$的二维数组；
  (3) 无向图的邻接矩阵具有对称性，可采用压缩存储的方式存储；
  (4) 对于无向图，若某一顶点$v$在一维数组中的下标为$i$，则该顶点的度为邻接矩阵的第$i+1$行中值为1的元素的总数目；
  (5) 对于有向图，若某一顶点$v$在一维数组中的下标为$i$，则该顶点的出度为邻接矩阵的第$i+1$行中值为1的元素的总数目，入度为邻接矩阵的第$i+1$列中值为1的元素的总数目。
  构造一个具有$n$个顶点$e$条边的无向网的时间复杂度为$O(n^2+ne)$，其中对邻接矩阵的初始化使用了$O(n^2)$的时间。

4.2 邻接表

  用于无向图、有向图

  使用邻接表存储图时，将图分为两个部分：
  第一部分为图中每一个顶点及与该顶点相关联的第一条边或弧，可以这样定义：

class VertexAdjacencyList(object):
    """
    图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 与该顶点相连的第一条边FirstArc
        self.FirstArc = None

  使用data域来存储图中的每一个顶点，FirstArc域来存储与该顶点相关联的第一条弧或边，通常情况下指向第二部分单链表的第一个结点。
  第二部分为用一个结点来存储图中的每一条边或弧，该结点由adjacent域、info域和NextArc域组成，这些结点形成了单链表。这部分结点可以这样定义：

class ArcAdjacencyList(object):
    """
    图的一个边(弧)
    """
    def __init__(self, adjacent):
        # 邻接点或弧头, 与该顶点相连的另一顶点的index
        self.adjacent = adjacent
        self.info = None
        # 与该边(弧)依附于相同顶点的下一条边(弧)NextArc
        self.NextArc = None

  根据上面图的邻接表可以这样定义：

class GraphAdjacencyList(object):
    """
    图的邻接表
    """
    def __init__(self, kind):
        # 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 邻接表
        self.vertices = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

  无向图及其邻接表：


  有向网及其邻接表、逆邻接表：

  邻接表的特点如下：
  (1) 由于存储边或弧通过不同的连接顺序会形成不同的单链表，所以图的邻接表不是唯一的；
  (2) 对于具有$e$条边的无向图，使用邻接表存储时需要$2e$个结点来存储图的边，而对于具有$e$条弧的有向图，使用邻接表存储时需要$e$个结点来存储图的弧；
  (3) 对于具有$n$个顶点$e$条边或弧的稀疏图而言，若采用邻接矩阵存储，则需要$n^2$个存储空间来存储图的边或弧，而采用邻接表存储时，则至多需要$2e$个结点存储图的边或弧，所以稀疏图的存储使用邻接表会更节省空间；
  (4) 对于无向图，顶点的度等于该顶点对应的单链表中结点的总数目；
  (5) 对于有向图，若某一顶点在数组中的下标为$i$，则该顶点的出度为该顶点对应的单链表中结点的总数目，入度为邻接表中adjacent域内值为$i$的结点的总数目。
  在使用邻接表存储图时，计算图中的某一顶点的出度很容易，但是在计算其入度时，最坏的情况需要遍历整个邻接表。因此，有时为了方便计算顶点的入度，可以为该图建立一个逆邻接表。
  在建立邻接表或逆邻接表时，如输入的顶点信息为顶点的编号，则建立邻接表或逆邻接表的时间复杂度为$O(n+e)$，否则，需要通过查找才能确定顶点在图中的位置，对应的时间复杂度为$O(ne)$。

4.3 十字链表

  用于有向图

  十字链表通常用于有向图，可以将它看成邻接表和逆邻接表的结合。同样分为两个部分，即顶点结点部分和弧部分，通常将顶结点存储在数组中，弧结点存储在单链表中。
  顶点结点包含data域、FirstIn域和FirstOut域，其中data域存储顶点的值，FirstIn域指向以当前顶点为弧头的第一条弧和FirstOut域指向以当前顶点为弧尾的第一条弧。
  弧结点包含TailVertex域、HeadVertex域、HeadLink域、TailLink域和info域，其中TailVertex域存储当前弧的弧尾在数组中的下标，HeadVertex域存储当前弧的弧头在数组中的下标，HeadLink域指向与当前弧有相同弧头的下一条弧，TailLink域指向与当前弧有相同弧尾的下一条弧，info域存储当前弧的其他信息。
  顶点结点定义如下：

class VertexOrthogonalList(object):
    """
    有向图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 以该顶点为弧头的第一条弧FirstIn
        self.FirstIn= None
        # 以该顶点为弧尾的第一条弧FirstOut
        self.FirstOut= None

  弧结点定义如下：

class ArcOrthogonalList(object):
    """
    有向图的一条弧
    """
    def __init__(self):
        # 当前弧中弧头在数组中的下标HeadVertex
        self.HeadVertex = None
        # 当前弧中弧尾在数组中的下标TailVertex
        self.TailVertex = None
        # 与当前弧有相同弧头的下一条弧HeadLink
        self.HeadLink = None
        # 与当前弧有相同弧尾的下一条弧TailLink
        self.TailLink = None
        self.info = None

  十字链表表示的有向图定义如下：

class GraphOrthogonalList(object):
    """
    有向图的十字链表
    """
    def __init__(self):
        # 十字链表
        self.vertices = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

  有向图及其十字链表：

4.4 邻接多重表

  用于无向图

  在使用邻接表存储无向图时，图的每一条边都对应两个结点，由于这两个结点属于两个不同的邻接表，所以在进行删除操作时需要对邻接表的两条单链表进行操作，比较麻烦，所有引出了邻接多重表。邻接多重表同样分为两个部分，即顶点结点和边结点，通常将顶点结点存储在数组中，边结点存储在单链表中。
  顶点结点包含data域和FirstEdge域，其中data域存储顶点的值，FirstEdge域指向与当前顶点相关联的第一条边。
  边结点包含mark域、VertexOne域、NextEdgeOne域、VertexTwo域、NextEdgeTwo域和info域，其中mark域用于标记当前是否被访问，VertexOne域和VertexTwo域分别存储当前边的两个顶点在数组中的下标，NextEdgeOne域指向与VertexOne域对应的顶点相关联的下一条边，NextEdgeTwo域指向与VertexTwo域对应的顶点相关联的下一条边，info域存储当前边的其他信息。
  顶点结点定义如下：

class VertexAdjacencyMultitable(object):
    """
    无向图的一个顶点
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 与该顶点相连的第一条边FirstEdge
        self.FirstEdge = None

  边结点定义如下：

class Edge(object):
    """
    无向图的邻接多重表
    """
    def __init__(self):
        # 用来标记当前边是否已被访问过
        self.mark = None
        # 该边的两个顶点在数组中的下标
        self.VertexOne = None
        self.VertexTwo = None
        # 与VertexOne对应的顶点相连的下一条边NextEdgeOne
        self.NextEdgeOne = None
        # 与VertexTwo对应的顶点相连的下一条边NextEdgeTwo
        self.NextEdgeTwo = None
        self.info = None

  多重邻接表表示的图定义如下：

class GraphAdjacencyMultitable(object):
    """
    无向图的邻接多重表
    """
    def __init__(self):
        self.vertices = []
        self.vertexnum = 0
        self.edgenum = 0

  无向图及其邻接多重链表：