【算法设计】最大子矩阵问题

出自http://www.cnblogs.com/JPAORM/archive/2012/04/23/2510005.html

一，最大子矩阵问题：
给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。
Example：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵：
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

二，分析

子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。

例如

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix}$

$A[1,2; 1,3,4]=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \end{bmatrix}$

它亦可用A(3;2)表示，显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用，但还是没有标准的方法表示子矩阵。

以上为维基百科上给出的定义，感觉跟此题的定义不是一回事呢？

我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？

请先参考-->最大子段和问题
这个问题与最大子段有什么联系呢？

假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：

| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |

那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

三，源码

C++:

 
      [html]  
      view plain 
      copy 
      print 
      ? 
     
#include <iostream>  
using namespace std;  
  
int maxSubArray(int a[],int n)  
{  
     int b=0,sum=a[0];  
     for(int i=0;i<n;i++)  
     {  
       if(b>0)   
          b+=a[i];  
       else   
          b=a[i];  
       if(b>sum)  
          sum=b;  
     }  
    return sum;    
}  
int maxSubMatrix(int array[][3],int n)  
{  
            int i,j,k,max=0,sum=-100000000;  
            int b[3];  
            for(i=0;i<n;i++)  
            {  
                  for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]  
                  {  
                        b[k]=0;  
                  }  
                  for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值  
                  {  
                        for(k=0;k<n;k++)  
                        {  
                              b[k]+=array[j][k];  
                        }  
                        max=maxSubArray(b,k);    
                        if(max>sum)  
                        {  
                                sum=max;  
                        }  
                  }  
            }  
            return sum;  
}  
int main()  
{   
    int n=3;  
    int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}};  
                        
    cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl;  
              
 }  

java：

 
      [html]  
      view plain 
      copy 
      print 
      ? 
     
import java.util.Scanner;  
public class PKU_1050  
{  
     private int maxSubArray(int n,int a[])  
      {  
            int b=0,sum=-10000000;  
            for(int i=0;i<n;i++)  
            {  
                  if(b>0)   
                      b+=a[i];  
                  else   
                      b=a[i];  
                  if(b>sum)  
                     sum=b;  
            }  
            return sum;    
      }  
      private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)  
      {  
            int i,j,k,max=0,sum=-100000000;  
            int b[]=new int[101];  
            for(i=0;i<n;i++)  
            {  
                  for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]  
                  {  
                        b[k]=0;  
                  }  
                  for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值  
                  {  
                        for(k=0;k<n;k++)  
                        {  
                              b[k]+=array[j][k];  
                        }  
                        max=maxSubArray(k,b);    
                        if(max>sum)  
                        {  
                                sum=max;  
                        }  
                  }  
            }  
            return sum;  
      }  
      public static void main(String args[])  
      {  
            PKU_1050 p=new PKU_1050();  
            Scanner cin=new Scanner(System.in);  
            int n=0;  
            int[][] array=new int[101][101];  
            while(cin.hasNext())  
            {  
                       n=cin.nextInt();     
                       for(int i=0;i<n;i++)  
                       {  
                                  for(int j=0;j<n;j++)  
                                  {  
                                             array[i][j]=cin.nextInt();  
                                  }  
                       }  
                       System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));  
            }  
      }  
}  

最大子矩阵问题

【算法设计】最大子矩阵问题

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