Java基础-二叉树

1.二叉树简介

树（Tree）：
是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树

树的性质：

• 有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点
• 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树
• n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点
• m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的

普通树示例图：

二叉树：
二叉树是由n（n>=0）个结点组成的有序集合，集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成

二叉树特点：

1. 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点
2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
3. 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

二叉树性质：

1. 二叉树层数 >= 1，第i层上最多有2^(i-1) 个节点
2. 二叉树层数 >= 1，深度为k，最多有2^k - 1 个节点
3. n0=n2+1 ，n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数
4. 在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整
5. 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
   ① 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点
   ② 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点
   ③ 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点

相关概念：

• 结点：数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位

• 结点的度：结点拥有的子树的数目

• 结点关系：结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。如下例图中的二叉树，8是3的双亲结点，3是8的孩子结点。同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点，3和10即是兄弟结点。

• 结点层次：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推
  

• 树的深度：树中结点的最大层次数称为树的深度或高度

二叉树示例图：

二叉树的五种形态：

2.满二叉树

在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树

特点：

• 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡
• 分支结点的度一定是2
• 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

满二叉树实例图：

3.完全二叉树

对于一棵具有n个节点的二叉树按照层次编号，同时，左右子树按照先左后右编号，如果编号为i的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

特点：

• 叶子结点只能出现在最下层和次下层
• 最下层的叶子结点集中在树的左部
• 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置
• 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树
• 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小

注意：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立

完全二叉树示例图：

4.遍历方式

4.1 前序遍历

从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问

从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A
继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B
按照同样规则，输出D，输出H
当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I
I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E
向E左子树，故输出J
按照同样的访问规则，继续输出C、F、G

前序遍历输出为：ABDHIEJCFG

4.2 中序遍历

从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D
由D返回至B，第二次到达B，故输出B
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G

中序遍历输出为：HDIBJEAFCG

4.3 后序遍历

从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H
H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H
由H返回至D，第二次到达D，不输出D
继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I
返回至D，此时第三次到达D，故输出D
按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A

后序遍历输出为：HIDJEBFGCA

4.4 层次遍历

按照树的层次自上而下的遍历二叉树

层次遍历结果为：ABCDEFGHIJ

5.二叉树的存储结构

5.1 基于数组的实现

使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引
通过浪费索引为 0 的地址，使得所有的 左节点 的索引都变成了 2i （i 为节点的高度），所有的 右节点 的索引都变成了 2i +1

优点：

• 可以通过下标随机访问某已知高度的节点
• 节省了存储指向子节点地址的指针所需要的空间

缺点：

• 表示非完全二叉树时要浪费一定的空间
• 二叉树的扩容操作时间复杂度为 O(n)，要对数组的数据进行搬运

适用场景：
数据存储量小，访问量大，插入删除操作少

其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，会有空间浪费的情况

5.2 基于链表的实现

• data：表示数据域，用于存储对应的数据元素
• lchild：表示左指针域，用于存储左孩子结点
• rchild：表示右指针域，用于存储右孩子结点

优点：

• 扩容方便
• 插入、删除操作的时间复杂度都是 O(logn) （与 二分查找法 一致）

缺点：

• 访问数据的时间复杂度相对数组存储要高，时间复杂度为 O(logn) （与 二分查找法 一致）

适用场景：

• 存储数据量大，插入删除频繁，数据读取操作较少