近年来，贝叶斯统计已经成为实证金融学的基石。本章无法覆盖该领域的所有概念。因此，在必要时应该参考Geweke（2005）的教科书来了解一般的入门知识，利益驱动者应该参考Rachev（2008）的教科书。
13.3.1 贝叶斯公式
贝叶斯公式在金融学中常见的解读是历时解读。这主要说明，随着时间的推移，我们会了解感兴趣的变量或者参数的新信息，例如时间序列的平均收益率。公式13-5正式描述了这种理论。
公式13-5 贝叶斯公式
式中H表示某个事件（假设），D代表实验或者真实世界可能提供的数据[4]。在这些定义的基础上，我们得到：
- p(H)称作先验概率；
- p(D)是任何假设下数据的概率，称作标准化常数；
- p(D|H)是假设H下数据的似然度（即概率）；
- p(H|D)是后验概率，即我们看到数据之后得出的概率。
考虑一个简单的例子。有两个盒子B1和B2，B1中有20个黑球和70个红球，而B2中有40个黑球和50个红球。随机从两个盒子中取出一个球，假定这个球是黑色的。“H1：球来自B1”和“H2：球来自B2”这两个假设的概率分别是多少？
在随机取出这个球之前，两个假设的可能性是相同的。但当球明显是黑色，我们必须根据贝叶斯公式更新两个假设的概率，考虑假设H1。
- 先验概率：p(H1) =1/2
- 标准化常数：p(D) =
- 似然度：p(D|H1) =
更新后的H1概率p(H1|D) =
这一结果也有直观的意义。从B2取出一个黑球的概率两倍于同一件事情发生在B1上的概率。因此，取出一个黑球之后，假设H2的更新后概率p(H2|D)=2/3，也是假设H1更新后概率的2倍。
13.3.2 贝叶斯回归
Python生态系统利用PyMC3提供了一个全面的软件包，从技术上实现了贝叶斯统计和概率规划。
考虑如下基于直线周围噪声数据的例子。[5]首先，在数据集上实施一次线性普通最小二乘回归（参见第11章），结果如图13-15所示：
图13-15 样本数据点和回归线
In [1]: import numpy as np
import pandas as pd
import datetime as dt
from pylab import mpl, plt
In [2]: plt.style.use('seaborn')
mpl.rcParams['font.family'] = 'serif'
np.random.seed(1000)
%matplotlib inline
In [3]: x = np.linspace(0, 10, 500)
y = 4 + 2 * x + np.random.standard_normal(len(x)) * 2
In [4]: reg = np.polyfit(x, y, 1)
In [5]: reg
Out[5]: array([2.03384161, 3.77649234])
In [6]: plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(x, y, c=y, marker='v', cmap='coolwarm')
plt.plot(x, reg[1] + reg[0] * x, lw=2.0)
plt.colorbar()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
OLS回归方法的结果是回归线上两个参数（截距和斜率）的固定值。注意，最高阶单项式因子（本例中是回归线的斜率）在指数水平0处，截距在指数水平1处。原始参数2和4没能完全恢复，这是数据中包含的噪声所致。
贝叶斯回归利用了PyMC3软件包。这里假定参数遵循某种分布。例如，考虑回归线方程
。假定现在有以下先验概率：
- α呈正态分布，均值为0，标准差为20；
- β呈正态分布，均值为0，标准差为10。
至于似然度，假定一个均值为
的正态分布和一个标准差为0～10之间的均匀分布。
贝叶斯回归的一个要素是（马尔科夫链）蒙特卡洛（MCMC）采样[6]。原则上，这和前一个例子中多次从盒子取出球相同——只是采用更系统性、更自动化的方式。
技术性采样有3个不同的函数可以调用：
- find_MAP()通过求取局部最大后验点来寻找采样算法的起点；
- NUTS()为假定先验概率的MCMC采样实现所谓的“高效双平均无回转采样器”（NUTS）算法；
- sample()以给定起始值（来自find_MAP()）和最优化步长（来自NUTS算法）提取一定数量的样本。
上列函数都包装到一个PyMC3 Model对象中，并在with语句中执行：
In [8]: import pymc3 as pm
In [9]: %%time
with pm.Model() as model:
# model
alpha = pm.Normal('alpha', mu=0, sd=20) ❶
beta = pm.Normal('beta', mu=0, sd=10) ❶
sigma = pm.Uniform('sigma', lower=0, upper=10) ❶
y_est = alpha + beta * x ❷
likelihood = pm.Normal('y', mu=y_est, sd=sigma,
observed=y) ❸
# inference
start = pm.find_MAP() ❹
step = pm.NUTS() ❺
trace = pm.sample(100, tune=1000, start=start,
progressbar=True, verbose=False) ❻
logp = -1,067.8, ||grad|| = 60.354: 100%| | 28/28 [00:00<00:00,
474.70it/s]
Only 100 samples in chain.
Auto-assigning NUTS sampler...
Initializing NUTS using jitter+adapt_diag...
Multiprocess sampling (2 chains in 2 jobs)
NUTS: [sigma, beta, alpha]
Sampling 2 chains: 100%| | 2200/2200 [00:03<00:00,
690.96draws/s]
CPU times: user 6.2 s, sys: 1.72 s, total: 7.92 s
Wall time: 1min 28s
In [10]: pm.summary(trace) ❼
Out[10]:
mean sd mc_error hpd_2.5 hpd_97.5 n_eff Rhat
alpha 3.764027 0.174796 0.013177 3.431739 4.070091 152.446951 0.996281
beta 2.036318 0.030519 0.002230 1.986874 2.094008 106.505590 0.999155
sigma 2.010398 0.058663 0.004517 1.904395 2.138187 188.643293 0.998547
In [11]: trace[0] ❽
Out[11]: {'alpha': 3.9303300798212444,
'beta': 2.0020264758995463,
'sigma_interval__': -1.3519315719461853,
'sigma': 2.0555476283253156}
❶ 定义先验概率。
❷ 指定线性回归。
❸ 定义似然度。
❹ 通过优化找出起始值。
❺ 实例化MCMC算法。
❻ 用NUTS取得后验样本。
❼ 展示采样的统计摘要。
❽ 从第一个样本估算。
3个估算值都相当接近原始值（4，2，2）。不过，整个过程会得到许多估算值。最好用轨迹图（如图 13-20 所示）描述它们。轨迹图展示了不同参数得到的后验分布以及每个样本的单独估算值。后验分布帮助我们直观地了解了估算值中的不确定性：
In [12]: pm.traceplot(trace, lines={'alpha': 4, 'beta': 2, 'sigma': 2});
图13-16 后验分布及轨迹图
仅从回归中取得alpha和beta值就可以绘制所有的结果回归线（见图13-17）：
In [13]: plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(x, y, c=y, marker='v', cmap='coolwarm')
plt.colorbar()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
for i in range(len(trace)):
plt.plot(x, trace['alpha'][i] + trace['beta'][i] * x) ❶
❶ 绘制单条回归线。
图13-17 基于不同估算值的回归线
13.3.3 两种金融工具
用虚拟数据介绍了PyMC3贝叶斯回归之后，转向真实的金融数据很简单。示例使用了两种交易型开放式基金（GLD和GDX）的金融时间序列数据（见图13-18）：
In [14]: raw = pd.read_csv('../../source/tr_eikon_eod_data.csv',
index_col=0, parse_dates=True)
In [15]: data = raw[['GDX', 'GLD']].dropna()
In [16]: data = data / data.iloc[0] ❶
In [17]: data.info()
<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
DatetimeIndex: 2138 entries, 2010-01-04 to 2018-06-29
Data columns (total 2 columns):
GDX 2138 non-null float64
GLD 2138 non-null float64
dtypes: float64(2)
memory usage: 50.1 KB
In [18]: data.ix[-1] / data.ix[0] - 1 ❷
Out[18]: GDX -0.532383
GLD 0.080601
dtype: float64
In [19]: data.corr() ❸
Out[19]: GDX GLD
GDX 1.00000 0.71539
GLD 0.71539 1.00000
In [20]: data.plot(figsize=(10, 6));
❶ 将数据规范化为起始值1。
❷ 计算相对绩效。
❸ 计算两种金融工具之间的相关度。
图13-18 GLD和GDX一段时间后的规范化价格
在下面的例子中，单个数据点的日期用散点图来可视化。为此，将DataFrame中的DatetimeIndex对象转换成matplotlib日期。图13-19展示了时间序列数据的散点图，并将GLD价值与GDX价值进行对照，然后以不同颜色显示每对数据的日期：[7]
In [21]: data.index[:3]
Out[21]: DatetimeIndex(['2010-01-04', '2010-01-05', '2010-01-06'],
dtype='datetime64[ns]', name='Date', freq=None)
In [22]: mpl_dates = mpl.dates.date2num(data.index.to_pydatetime()) ❶
mpl_dates[:3]
Out[22]: array([733776., 733777., 733778.])
In [23]: plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(data['GDX'], data['GLD'], c=mpl_dates,
marker='o', cmap='coolwarm')
plt.xlabel('GDX')
plt.ylabel('GLD')
plt.colorbar(ticks=mpl.dates.DayLocator(interval=250),
format=mpl.dates.DateFormatter('%d %b %y')); ❷
❶ 将DatetimeIndex对象转换为matplotlib日期。
❷ 自定义日期的色卡。
图13-19 GLD价格与GDX价格散点图
接下来在这两个时间序列基础上实施贝叶斯回归，参数化本质上和前一个虚拟数据示例的过程相同。图13-20展示了在3个参数先验概率分布的假设下，MCMC采样过程的结果：
In [24]: with pm.Model() as model:
alpha = pm.Normal('alpha', mu=0, sd=20)
beta = pm.Normal('beta', mu=0, sd=20)
sigma = pm.Uniform('sigma', lower=0, upper=50)
y_est = alpha + beta * data['GDX'].values
likelihood = pm.Normal('GLD', mu=y_est, sd=sigma,
observed=data['GLD'].values)
start = pm.find_MAP()
step = pm.NUTS()
trace = pm.sample(250, tune=2000, start=start,
progressbar=True)
logp = 1,493.7, ||grad|| = 188.29: 100%| | 27/27 [00:00<00:00,
1609.34it/s]
Only 250 samples in chain.
Auto-assigning NUTS sampler...
Initializing NUTS using jitter+adapt_diag...
Multiprocess sampling (2 chains in 2 jobs)
NUTS: [sigma, beta, alpha]
Sampling 2 chains: 100%| | 4500/4500 [00:09<00:00,
465.07draws/s]
The estimated number of effective samples is smaller than 200 for some
parameters.
In [25]: pm.summary(trace)
Out[25]:
mean sd mc_error hpd_2.5 hpd_97.5 n_eff Rhat
alpha 0.913335 0.005983 0.000356 0.901586 0.924714 184.264900 1.001855
beta 0.385394 0.007746 0.000461 0.369154 0.398291 215.477738 1.001570
sigma 0.119484 0.001964 0.000098 0.115305 0.123315 312.260213 1.005246
In [26]: fig = pm.traceplot(trace)
图13-20 GDX和GLD数据的后验分布及轨迹图
图13-21将得到的所有回归线添加到之前的散点图中。但是，所有回归线相互之间很靠近：
In [27]: plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(data['GDX'], data['GLD'], c=mpl_dates,
marker='o', cmap='coolwarm')
plt.xlabel('GDX')
plt.ylabel('GLD')
for i in range(len(trace)):
plt.plot(data['GDX'],
trace['alpha'][i] + trace['beta'][i] * data['GDX'])
plt.colorbar(ticks=mpl.dates.DayLocator(interval=250),
format=mpl.dates.DateFormatter('%d %b %y'));
图13-21 穿过GDX和GLD数据的多条贝叶斯回归线
图 13-21 揭示了所用回归方法的一个重大缺点：该方法没有考虑随时间推移发生的变化。也就是说，最近的数据和最老的数据受到同等对待。
13.3.4 随时更新估算值
正如前面指出的，金融学上的贝叶斯方法通常在历史分析时最有用——也就是说，随着时间推移揭示的新数据可以得出更好的回归和估算。
为了在当前的示例中加入上述概念，假定回归参数不只是随机和呈某种分布的，而且还会随着时间的推移随机“游走”。这和金融理论中从随机变量推广到随机过程（本质上是随机变量的有序序列）时采用相同的方式。
为此，我们定义一个新的PyMC3模型，这次指定参数值随机游走。在指定随机游走参数的分布之后，我们可以继续指定随机游走的alpha和beta值。为了使整个过程更加高效，为50个数据点使用相同的系数：
In [28]: from pymc3.distributions.timeseries import GaussianRandomWalk
In [29]: subsample_alpha = 50
subsample_beta = 50
In [30]: model_randomwalk = pm.Model()
with model_randomwalk:
sigma_alpha = pm.Exponential('sig_alpha', 1. / .02, testval=.1) ❶
sigma_beta = pm.Exponential('sig_beta', 1. / .02, testval=.1) ❶
alpha = GaussianRandomWalk('alpha', sigma_alpha ** -2,
shape=int(len(data) / subsample_alpha)) ❷
beta = GaussianRandomWalk('beta', sigma_beta ** -2,
shape=int(len(data) / subsample_beta)) ❷
alpha_r = np.repeat(alpha, subsample_alpha) ❸
beta_r = np.repeat(beta, subsample_beta) ❸
regression = alpha_r + beta_r * data['GDX'].values[:2100] ❹
sd = pm.Uniform('sd', 0, 20) ❺
likelihood = pm.Normal('GLD', mu=regression, sd=sd,
observed=data['GLD'].values[:2100]) ❻
❶ 为随机游走参数定义先验概率。
❷ 随机游走模型。
❸ 将参数向量代入时间间隔长度。
❹ 定义回归模型。
❺ 标准差的先验值。
❻ 用回归结果中的mu定义似然度。
由于使用随机游走代替单一随机变量，所以这些定义都比以前复杂一些。不过，MCMC的推导步骤本质上仍然没有变化。要注意的是，由于我们必须为每个随机游走样本计算一个参数对，共计1950/50=39个（以前只需要1个），所以计算负担明显增大：
In [31]: %%time
import scipy.optimize as sco
with model_randomwalk:
start = pm.find_MAP(vars=[alpha, beta],
fmin=sco.fmin_l_bfgs_b)
step = pm.NUTS(scaling=start)
trace_rw = pm.sample(250, tune=1000, start=start,
progressbar=True)
logp = -6,657: 2%| | 82/5000 [00:00<00:08, 550.29it/s]
Only 250 samples in chain.
Auto-assigning NUTS sampler...
Initializing NUTS using jitter+adapt_diag...
Multiprocess sampling (2 chains in 2 jobs)
NUTS: [sd, beta, alpha, sig_beta, sig_alpha]
Sampling 2 chains: 100%| | 2500/2500 [02:48<00:00, 8.59draws/s]
CPU times: user 27.5 s, sys: 3.68 s, total: 31.2 s
Wall time: 5min 3s
In [32]: pm.summary(trace_rw).head() ❶
Out[32]:
mean sd mc_error hpd_2.5 hpd_97.5 n_eff \
alpha__0 0.673846 0.040224 0.001376 0.592655 0.753034 1004.616544
alpha__1 0.424819 0.041257 0.001618 0.348102 0.509757 804.760648
alpha__2 0.456817 0.057200 0.002011 0.321125 0.553173 800.225916
alpha__3 0.268148 0.044879 0.001725 0.182744 0.352197 724.967532
alpha__4 0.651465 0.057472 0.002197 0.544076 0.761216 978.073246
Rhat
alpha__0 0.998637
alpha__1 0.999540
alpha__2 0.998075
alpha__3 0.998995
alpha__4 0.998060
❶ 每个时间间隔的汇总统计（仅显示前5个和alpha）。
图13-22表现的是估算值的一个子集，说明回归参数alpha和beta随时间演变：
In [33]: sh = np.shape(trace_rw['alpha']) ❶
sh ❶
Out[33]: (500, 42)
In [34]: part_dates = np.linspace(min(mpl_dates),
max(mpl_dates), sh[1]) ❷
In [35]: index = [dt.datetime.fromordinal(int(date)) for
date in part_dates] ❷
In [36]: alpha = {'alpha_%i' % i: v for i, v in
enumerate(trace_rw['alpha']) if i < 20} ❸
In [37]: beta = {'beta_%i' % i: v for i, v in
enumerate(trace_rw['beta']) if i < 20} ❸
In [38]: df_alpha = pd.DataFrame(alpha, index=index) ❸
In [39]: df_beta = pd.DataFrame(beta, index=index) ❸
In [40]: ax = df_alpha.plot(color='b', style='-.', legend=False,
lw=0.7, figsize=(10, 6))
df_beta.plot(color='r', style='-.', legend=False,
lw=0.7, ax=ax)
plt.ylabel('alpha/beta');
❶ 包含参数估算值的对象构成。
❷ 创建日期列表以匹配时间间隔数量。
❸ 将相关的参数时间序列收集在两个DataFrame对象中。
图13-22 一段时间的选择参数估算值
绝对价格数据和相对收益率数据
本节的分析基于规范化价格数据。这仅仅是为了说明目的，因为对应的图形化结果更容易理解和解读（它们在视觉上“更引人注目”）。但是，现实世界中的金融应用应该依赖收益率数据，以确保时间序列数据的稳定性。
使用alpha和beta均值，我们可以说明一段时间内回归的更新。图 13-23 展示了回归随时间推移而更新的情况。此外，它还显示了从alpha和beta均值得出的39条回归线。很明显，随时间推移而更新数大大提高了回归拟合（对于当前/最新的数据）——换言之，每个时间周期都需要自己的回归：
In [41]: plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(data['GDX'], data['GLD'], c=mpl_dates,
marker='o', cmap='coolwarm')
plt.colorbar(ticks=mpl.dates.DayLocator(interval=250),
format=mpl.dates.DateFormatter('%d %b %y'))
plt.xlabel('GDX')
plt.ylabel('GLD')
x = np.linspace(min(data['GDX']), max(data['GDX']))
for i in range(sh[1]): ❶
alpha_rw = np.mean(trace_rw['alpha'].T[i])
beta_rw = np.mean(trace_rw['beta'].T[i])
plt.plot(x, alpha_rw + beta_rw * x, '--', lw=0.7,
color=plt.cm.coolwarm(i / sh[1]))
❶ 为所有长度为50的时间间隔绘制回归线。
图13-23 包含时间相关回归线（更新的估算）的散点图
关于贝叶斯回归的介绍到此告一段落，Python提供了强大的PyMC3库，以实现贝叶斯统计以及概率编程中的不同方法，尤其是贝叶斯回归，它在计量金融学中已经成为相当流行而重要的工具。
本文摘自《Python金融大数据分析 第2版》
《Python金融大数据分析 第2版》分为5部分，共21章。第1部分介绍了Python在金融学中的应用，其内容涵盖了Python用于金融行业的原因、Python的基础架构和工具，以及Python在计量金融学中的一些具体入门实例；第2部分介绍了Python的基础知识以及Python中非常有名的库NumPy和pandas工具集，还介绍了面向对象编程；第3部分介绍金融数据科学的相关基本技术和方法，包括数据可视化、输入/输出操作和数学中与金融相关的知识等；第4部分介绍Python在算法交易上的应用，重点介绍常见算法，包括机器学习、深度神经网络等人工智能相关算法；第5部分讲解基于蒙特卡洛模拟开发期权及衍生品定价的应用，其内容涵盖了估值框架的介绍、金融模型的模拟、衍生品的估值、投资组合的估值等知识。
《Python金融大数据分析 第2版》本书适合对使用Python进行大数据分析、处理感兴趣的金融行业开发人员阅读。