[2020中国大学生程序设计竞赛(CCPC)-网络选拔赛] 1005 Lunch

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题意

有n堆石子，每堆石子$l_i$个，现在有两个人轮流进行博弈。博弈规则如下：

1. 如果当前一轮中，每一堆的石子全为1，那么该选手输掉比赛。
2. 假设有一堆石子数为L，选手可选择L的一个大于等于2的因子K作为新的堆数，然后将该堆分为K堆每堆$\frac{L}{K}$个石子。

游戏最后每堆石子数全为1，必将有一个人失败。
问先手是否会获胜，如果是输出“W”，否则“L”。

题解

本题很明显是一个Nim博弈的变形，此类问题的解决方法无非SG函数，所以我们可以先分析其后续状态的集合，然后SG函数打表找规律试试。

很明显一个数L的后续状态的个数就是其大于等于2的因子数，解法和拆分Nim相似。
假设因子为k，每一个状态就是有$\frac{L}{K}$个K，那么该状态的值就是$\frac{L}{K}$个SG(K)异或得出。
每个状态都有一个SG值，SG定理得出SG(L)就是其后续状态的Nim和。
记忆化SG函数打表即可。

打表代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=4e4+10;
const int maxm=1e4+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,m;
int f[maxm];

int sg(int x){
    
    
	if(f[x]!=-1) return f[x];
	unordered_set<int> S;
	vector<int> q;
	for(ll i=2;i<=sqrt(x);++i){
    
    
		if(x%i==0){
    
    
			q.push_back(i);
			if(i*i!=x) q.push_back(x/i);
		}
	}
	q.push_back(x);
	for(int i=0;i<q.size();++i)
	{
    
    
		if(q[i]%2==0) S.insert(0);
		else S.insert(sg(x/q[i]));
	}
	for(int i=0;;++i){
    
    
		if(!S.count(i)) return f[x] = i;
	}
}

int main(void)
{
    
    
	memset(f, -1, sizeof(f));
	f[1]=0;
	for(int i=1;i<=30;i++) cout << i << ' ' << sg(i) << "   ";
}

本题的难点我认为在于找规律
比赛中就是因为没找出规律所以才gg的。难受～

这次的规律通过唯一分解得出，L的SG值是：L唯一分解后除了2的素因子的幂次和，如果为偶数+1，奇数不加。

由于L上限为1e9，所以可以先预处理$\sqrt{1e9}$以内的素数，然后唯一分解得出答案。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&-x

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=4e4+10;
const int maxm=1e4+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,m;

int prime[maxn+10];
void getprime()
{
    
    
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
	{
    
    
		if(!prime[i]) prime[++prime[0]]=i;
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=maxn;j++)
		{
    
    
			prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
int SG(int x)
{
    
    
	int res=0;
	if(x%2==0) res=1;
	int tmp=x,cnt=0;
	for(int i=1;i<=prime[0];i++)
	{
    
    
		if(tmp%prime[i]==0)
		{
    
    
			while(tmp%prime[i]==0)
			{
    
    
				tmp/=prime[i];
				if(prime[i]!=2) cnt++;
			}
		}
		if(tmp==1) break;
	}
	if(tmp!=1 && tmp!=2) cnt++;
	return cnt+res;
}
int main(void)
{
    
    
	getprime();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
    
    
		scanf("%d",&n);
		int res = 0;
		for(int i=0;i<n;++i){
    
    
			int x;
			cin>>x;
			res ^= SG(x);
		}
		if(res) printf("W\n");
		else printf("L\n");
	}
}