[2019CCPC-江西省赛] H - Rng 概率+数学推导

题目链接：H - Rng

题意

给你一个长度为n的1～n区间，我们首先从[1,n]中任意选取一个整数r，然后再从[1,r]中任取一个整数l，构成一个区间$[l_1,r_1]$，相同的方法构造$[l_2,r_2]$。问这两个区间相交的概率为多少，答案为$\frac{p}{q}$的形式，输出$p\ast q^{-1}(mod(1e9+7))$。

题解

首先我们可以知道总共选取了哪些区间。
（1，1）
（1，2）（2，2）
（1，3）（2，3）（3，3）
（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）
…
（1，n）（2，n）（3，n）（4，n）… (n,n)

这是第一次能构造的所有区间，第二次同理。
现在我们分析每个区间选取的概率。
由于先选取的是r，以r=2为例，选取r=2时的概率为$\frac{1}{n}$.
那么很容易得出选取区间（1,2）和（2，2）的概率都为$\frac{1}{n}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2n}$
同理分析其他区间的概率按照上边的下三角形列出一个概率表。

$\frac{1}{n}$

$\frac{1}{2n}$ $\frac{1}{2n}$

$\frac{1}{3n}$ $\frac{1}{3n}$ $\frac{1}{3n}$
…
$\frac{1}{n^2}$ $\frac{1}{n^2}$ $\frac{1}{n^2}$…$\frac{1}{n^2}$

现在我们按照题意去寻找相交的区间概率相乘
ans = $\frac{1}{n}\ast (\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n}+....+\frac{1}{n^2})$+

$\frac{1}{2n}\ast (\frac{1}{n}+2\ast \frac{1}{2n}+2\ast \frac{1}{3n}+...+2\ast \frac{1}{n^2})$+$\frac{1}{2n}\ast (2\ast \frac{1}{2n}+2\ast \frac{1}{3n}+...+2\ast \frac{1}{n^2})$+

$\frac{1}{3n}\ast (\frac{1}{n}+2\ast \frac{1}{2n}+3\ast \frac{1}{3n}+...+3\ast \frac{1}{n^2})$+$\frac{1}{3n}\ast (2\ast \frac{1}{2n}+3\ast \frac{1}{3n}+...+3\ast \frac{1}{n^2})$+$\frac{1}{3n}\ast (3\ast \frac{1}{3n}+...+3\ast \frac{1}{n^2})$+…+

$\frac{1}{n^2}\ast (\frac{1}{n}+2\ast \frac{1}{2n}+3\ast \frac{1}{3n}+...+n\ast \frac{1}{n^2})$+$\frac{1}{n^2}\ast (2\ast \frac{1}{2n}+3\ast \frac{1}{3n}+...+n\ast \frac{1}{n^2})$+…+$\frac{1}{n^2}\ast (n\ast \frac{1}{n^2})$

= $\frac{1}{n}\ast (\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n}+....+\frac{1}{n^2})$+

$\frac{1}{2n}\ast 2\ast (2\ast \frac{1}{2n}+2\ast \frac{1}{3n}+...+2\ast \frac{1}{n^2})$+$\frac{1}{2n}\ast \frac{1}{n}$+

$\frac{1}{3n}\ast 3\ast (3\ast \frac{1}{3n}+...+3\ast \frac{1}{n^2})$+$\frac{1}{3n}\ast (\frac{1}{n}+2\ast \frac{2}{2n})$+…+

$\frac{1}{n^2}\ast n\ast (n\ast \frac{1}{n^2})$+$\frac{1}{n^2}\ast (\frac{1}{n}+2\ast \frac{2}{2n}+3\ast \frac{3}{3n}+...+(n-1)\ast \frac{n-1}{(n-1)n})$

= $\frac{1}{n}\ast (\frac{1}{n}+\frac{1+2}{2n}+\frac{1+2+3}{3n}+....+\frac{1+2+...+n}{n^2})$+

$\frac{1}{2n}\ast \frac{1}{n}$+$\frac{1}{3n}\ast \frac{1+2}{n}$+$\frac{1}{4n}\ast \frac{1+2+3}{n}+...+\frac{1}{n^2}\ast \frac{1+2+..+(n-1)}{n}$

= $\frac{1}{n^2}+\frac{(1+2)+1}{2n^2}+\frac{(1+2+3)+(1+2)}{3n^2}+....+\frac{(1+2+...+n)+(1+2+...+(n-1))}{n^3}$

=$\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+....+\frac{n}{n^2}$

= $\frac{n+1}{2n}$

千辛万苦就为了这一个式子。emmm…
剩下很简单了，用费马小定理求出逆元求解即可。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&-x

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=100+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

ll qpow(ll a,ll b)
{
    
    
	ll ans=1;
	while(b)
	{
    
    
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return (ans+mod)%mod;
}
ll inv(ll a) {
    
     return (qpow(a,mod-2)+mod)%mod; }
int main()
{
    
    
	int n;
	while(cin >> n)
	{
    
    
		ll ans=((1+n)*inv(2*n)%mod+mod)%mod;
		cout << ans << endl;
	}
}