线性代数_考前冲刺版
1.行列式
1.行列式
1.n级排列
n级排列：n个数字随意排列，中间不能缺数。3145不是5级排列。
n级排列一共有n!种排列组合。
逆序：大的数排在小的数前面。4213就是逆序。
逆序数N：逆序的数的总数，4213的逆序数为3+1=4。从第一个数开始数每个数的后面有几个比他小的数就行了。
偶排列：逆序数为偶数
奇排列：逆序数为奇数
n级标准排列(自然排列)就是123…n按顺序排列下去，逆序数为0。
定理：n级排列中，奇排列和偶排列的个数各占排列总数的一半。
2.行列式
上三角和下三角行列式的值都是主对角线的各元素乘积。
2.行列式的性质
-
行列全部互换之后叫做转置行列式。行列式和它的转置行列式相等。
-
对换行列式的两行(列)，行列式要变号。
推论：如果行列式中有两行完全相同，那么此行列式为0。
-
行列式中的某一行或者某一列乘以K，那么就相当于整个行列式乘以K。
推论：行列式中某一行或者某一列的全部元素的公因子可以提到行列式的外面。
-
行列式中如果有两行成比例，那么此行列式为0。
-
行列式的拆分：如果一个行列式的某一行(列)元素都是两数之和，那么该行列式即可拆分。
-
把行列式的某一行(列)的元素全部乘以一个数加到另外一行(列)，行列式不变。
3.行列式按行展开
Mij余子式：去掉(i，j)的所在行和所在列
Aij代数余子式=(-1)的i+j次*Mij
1.一个行列式中如果第i行的所有元素除了aij外其余都是0，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积
2.行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和——行列式按行(列)展开法则
4.行列式的计算
加边法：把原来的n阶行列式变成n+1阶行列式，但是加边法不能改变原来阶行列式的值。
三叉型行列式的计算：利用主对角线上的元素去消除第一列的所有元素形成一个上三角。
范德蒙德行列式 的结果为(Xi-Xj)全部可能结果的乘积。其中1≤j＜i≤n
反对称行列式：主对角线全是0，上下三角对应位置互为相反数，即Aij=-Aji。设A为反对称矩阵，若A的阶数为奇数，则A的行列式为0；A的阶数为偶数，则根据具体情况计算。
对称行列式：主对角线元素没有要求，以主对角线为轴上下三角各个位置元素对应相等，即Aij=Aji
5.克莱姆法则
克莱姆法则只适合用在当方程个数等于未知数个数的时候。
方程组的系数行列式记为D，D1就是将系数行列式的第一列替换成方程组等式右边的三个值，同理D2就是替换掉第二列，D3就是替换掉第三列。对应的未知数的解X1就等于D1/D，X2=D2/D，X3=D3/D
当克莱姆方程组等式右边的值都为0时叫做齐次线性方程组。齐次线性方程组有且只有零解，前提时系数行列式D不等于0。
当齐次线性方程有非零解时，D=0。
2.矩阵
1.矩阵的概念
矩阵的本质是数表，而行列式的本质是一个数。行矩阵就是只有一组的矩阵，列矩阵就是只有一列的矩阵。
矩阵的行数和列数可以任意，当行数和列数相同时叫做方阵。
单位矩阵就是主对角线都是1，其余位置都是0的矩阵。
2.矩阵的运算
只有同型矩阵才能相加减。
矩阵的数乘运算：乘数乘以矩阵的每个元素。
矩阵提取公因子：矩阵的所有元素都具有的因子，矩阵可以往外提一次。而行列式提取公因子是一行都具有的话就能往外提一次。
两个矩阵相乘：第一个矩阵的列数要和第二个矩阵的行数相同。结果矩阵的行数由第一个矩阵的行数决定，结果矩阵的列数由第二个矩阵的列数决定。
任何矩阵与零矩阵相乘结果都是零矩阵，区别就是结果矩阵的行列数。
任何矩阵与单位矩阵相乘都等于它自身。
矩阵的乘法满足交换结合分配律。
一般情况下，矩阵A和B的K次方不等于A的K次方*B的K次方。
矩阵的平方展开式对于两个矩阵A，B不一定适用，对于某个矩阵和单位矩阵适用。
矩阵的转置也是行列互换。对于转置，矩阵相加求和转置的结果和分别先转置再相加的结果是一样的。矩阵A和B的乘积转置的结果和矩阵B的转置乘以矩阵A的转置结果相同，加法求和也是同理。
3.特殊矩阵(方阵)
1.数量矩阵
主对角线的元素相同，其余位置的元素都是0的矩阵。
2.对角矩阵
主对角线的元素不为0，其余位置元素都为0的矩阵。数量矩阵是一种特殊的对角矩阵。对角矩阵以diag(a1,a2,a3,a4)来表示。
对角矩阵乘以某个矩阵=对角矩阵的第一行元素乘以另一个矩阵的第一行全部元素，对角矩阵的第二行元素同理。
3.上三角形和下三角形矩阵
4.对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵：以主对角线为轴上下对应相等的矩阵。
反对称矩阵：以主对角线为轴上下对应互为相反数的矩阵，并且主对角线元素都为0。
如果A，B同为同阶对称矩阵，那么A，B可交换，即AB=BA。当需要证明矩阵对称时，即需证明该矩阵转置之后仍然是本身。当需要证明矩阵是反对称时，即需证明该矩阵转置之后是本身的相反(即矩阵A的转置结果是-A)。
4.逆矩阵
1.方阵
永远不要把矩阵放在分母上！！！
方阵转置的行列式与方阵的行列式相等。
方阵乘以一个数K后的行列式等于K的n次乘以这个方阵的行列式。
方阵A乘以B的的行列式等于A的行列式乘以B的行列式。
2.伴随矩阵
伴随矩阵：只有方阵才有伴随矩阵。任何方阵都有伴随矩阵。
求伴随矩阵的步骤：1.求出方阵中所有元素的代数余子式。2.按行求的代数余子式按列放即构成了伴随矩阵。
一个方阵与它的伴随矩阵的乘积等于该方阵对应的行列式与单位行矩阵的乘积。
3.逆矩阵
逆矩阵的前提是方阵，如果AB=BA=E，且A，B都是方阵那么AB互为逆矩阵。逆矩阵用A-1来表示，不是所有的方阵都是可逆的，例如零矩阵。
如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵一定是唯一的。
如何判断一个矩阵可逆？如果矩阵对应的行列式不等于0，那么就可逆。
求逆矩阵：伴随矩阵法，初等变换法。
伴随矩阵法：首先判断A的行列式不等于0，然后求出伴随矩阵，那么矩阵的逆矩阵就是1/矩阵的行列式乘以矩阵的伴随矩阵。
4.矩阵方程
在解矩阵方程的时候，矩阵与数不能做运算必须把数变成矩阵。在消X的系数的时候不能把矩阵放在分母的位置，要用逆矩阵表示。在两边同时乘以一个矩阵时，要分清同时左乘(矩阵靠左边的位置)还是同时右乘(矩阵靠右边的位置)。两边同时乘以一个逆矩阵时，要注意考虑是否有这个逆矩阵(先判断可逆再写逆矩阵)。
A的逆矩阵的逆矩阵是它本身，AB的逆矩阵等于B的逆矩阵乘以A的逆矩阵。对于转置也是如此。
如果矩阵A可逆，那么A的逆矩阵的行列式等于1/A的行列式。
矩阵A的伴随矩阵的行列式等于矩阵A的行列式的n-1次方。
A的逆矩阵等于A的行列式分之一乘以A的伴随矩阵，矩阵A的伴随矩阵等于A的行列式乘以A的逆矩阵。
5.分块矩阵
1.标准型
标准型：从矩阵左上角开始的一连串的1，不一定要连续到右下角。标准型不一定是方的。全是0的标准型也算。
2.分块矩阵的运算
分块矩阵的加法是各块分别相加。数乘是这个数乘以每个矩阵块。乘法同矩阵的乘法一样，但是前提是各个子块必须是可乘的。
3.分块矩阵的转置
1.把子块当成普通的元素先求转置。2.对每个子块再求转置。
注意两个矩阵相乘等于零矩阵，不能推出其中一个矩阵是零矩阵。
6.初等变换
1.初等行(列)变换
交换两行，某个数乘某一行，某一行的l倍(l可以为0)加到另一行上去。
初等变换前后的矩阵不相等，所以要用箭头连接不能用=。当矩阵是方阵的时候，经过初等变换之后得到的方阵对应的行列式与之前方阵对应的行列式有着变号，l倍，相等的关系。
任何矩阵都能通过初等行(列)变换化为标准型。
2.等价
等价：矩阵A 经过初等变化得到B，就说A与B是等价的。
1.反身性：矩阵A和它自己本身等价
2.对称性：如果A和B等价，那么B也和A等价。
3.传递性：如果有A等价于B，B等价于C，那么A等价于C。
3.初等方阵
对单位阵E做一次初等变换得到的矩阵叫做初等方阵。
初等方阵均可逆，其逆矩阵仍是初等方阵。初等方阵的转置仍然是初等方阵。
用一个初等方阵左乘A，相当于对A进行初等行变换，这个行变换和得到初等方阵所用的行变换相同。同理，
用一个初等方阵右乘A，相当于对A进行初等列变换，这个列变换和得到初等方阵所用的列变换相同。
如果矩阵A和B等价，那么存在初等矩阵P，Q使得PAQ=B。
如果矩阵A可逆，那么该矩阵的标准型一定是单位阵E。
4.初等变换法求逆矩阵
初等行变换法(只做行变换)：
对矩阵A做一系列的初等行变换之后，A变成了E的同时，E就变成了对应A的逆矩阵。
在A的右边补上一个单位阵E，经过一系列的行变换之后把A变成E，右半边就是A的逆矩阵。
注意：
- 在进行初等行变换的时候，左半边化成E的过程中，先做第一列，再第二列，此次类推…，
- 另外还要注意初等行变换是对整一行进行操作。
- 前面已经完成的列不再主动参与运算，否则又要重新算。
- 如果碰到左半边无法化成E，那么可能是该矩阵不可逆，没有逆矩阵。
- 全程只允许行变换。
7.矩阵的秩
1.k阶子式
从矩阵中任取k行k列构成的行列式叫做k阶子式，其中非零子式的最高阶数就是矩阵的秩。
规定零矩阵的秩等于0，一个m✖n的矩阵，它的秩r必须大于等于0，小于等于m和n中的较小值。
当一个矩阵的秩等于它的行数的时候，那么就叫做行满秩，即取到了所有的行。同理，当一个矩阵的秩等于它的列数的时候，那么就叫做列满秩，即取到了所有的列。概括的说，满秩就是当秩等于m和n中的较小值。
当秩小于m和n中的较小值时，就叫做降秩。
当某一阶子式等于0时，比它更高阶的子式一定也为0(因为更高阶子式按行展开后的低阶子式为0，相乘即为0)。
2.阶梯型矩阵
定义：1.若有零行，零行在非零行的下边。2.左起首非零元左边的零的个数随着行数增加而严格增加。
在画阶梯线的时候，横线可以跨多个数，竖线只能跨一个数。
3.行简化阶梯型
定义：1.非零行的首非零元是1(多行)。2.首非零元所在列的其余元素是0。
对于阶梯型矩阵，矩阵的秩等于非零行的行数。
初等行(列)变换不改变矩阵的秩。
求一个矩阵的秩的时候，可以通过行变换将它化为阶梯型然后数非零行的行数。
矩阵A的秩与它的转置后的秩相等。
矩阵乘以一个可逆矩阵，秩不变(初等行(列)变换不改变矩阵的秩)。
3.向量
1.向量的定义及运算
n个数组成的有序数组叫做向量。其中的每一个数都叫做分量。一个向量有几个分量那么这个向量的维数就是多少。
向量写成一行叫做行向量，写成一列叫做列向量。两者只是形式不同，本质上没有任何区别。
负向量：一个向量的所有分量全部取相反数。
两个向量相等的前提是同维向量。
两个向量的加法前提是同维，向量的数乘就是数去乘以向量的每个分量。
如果一个数乘以一个向量等于0，那么这个数等于0或者这个向量等于零向量。但是对于矩阵，是无法推出的。
2.向量间的线性关系
例如倍数关系。某个向量能用两个基础向量来表示。
1.线性组合
已知B，a1a2a3a4a5…an都是m维向量，如果存在k1k2k3k4…kn使得k1a1+k2a2+k3a3+k4a4+…knan=B，那么B就能用这样的线性组合来表示，其中k是组合系数，k可以全部为0。
- 零向量可由任意向量组表示。
- 向量组中的任一向量可由向量组表示。
- 任一向量可由(1,0,0,…)，(0,1,0,…)，(0,0,…,1)来表示。
2.向量组的等价
对于两个同维的向量组来说，两者中的每个分量能互相用对方的分量来表示。
- 反身性：一个向量组和他自己本身是等价的。
- 对称性：A和B等价，B也和A等价。
- 传递性：A和B等价，B和C等价，那么A就和C等价。
3.线性相关和线性无关
线性相关：a1，a2，a3，a4…an是n个m维的向量，若存在一组不全为0的系数k1，k2，k3…kn使得a1k1+a2k2+a3k3+a4k4+ankn=0，那么就说a1，a2，a3，a4…an是线性相关的。
线性无关：1.不是线性相关。2.找不到一组不全为0的系数。3.要使得式子成立全部系数必须等于0。
下面几种情况下，向量组必是线性相关：
- 向量组中若有两个向量成比例。
- 向量组中含有零向量。
- 向量组中只有一个零向量不含别的向量。
- 相关的向量组，它的截短向量组仍然是相关的。
下面几种情况下，向量组必是线性无关：
- 向量组中只有一个非零向量不含别的向量。
- 无关向量组接长后的向量组仍然是无关的。
n个n维向量(向量的个数等于维数)，若构成的行列式不等于0，那么线性无关。若等于0，那么线性相关。
若向量组线性相关，那么对应的方程有非零解。若向量组线性无关，那么对应的方程只有零解。
若a1，a2，a3，a4…an线性相关，那么至少有一个向量可由其余向量线性表示。
如果a1a2a3a4…an无关，a1a2a3a4…anb有关，那么b可由a1a2a3a4…an唯一表示。
替换定理：
a1…as无关，可由b1…bt表示，那么s小于等于t。
a1…as由b1…bt表示，如果s＞t，那么a1…as一定是线性相关的。
如果m＞n，那么m个n维向量一定线性相关。即当向量的个数大于向量维数的时候，一定是线性相关的。
两个等价的线性无关组含向量的个数是相同的(用两次替换定理即可推出)。
3.向量组的秩
1.极大(线性)无关组
a1a2a3a4a5中的部分组a1a2如果满足：
- a1和a2线性无关
- a1a2a3a4a5都能由a1和a2表示出来。
那么就说，a1a2是极大无关组。其中极大表示在原向量组中找线性无关的向量个数是最大的，即任意r+1个向量都是线性相关的。
极大无关组一般不唯一，任意两个极大向量组所含的向量的个数相同。
2.秩
极大无关组含向量的个数就是该向量组的秩。向量组的秩所在的范围是0-min(向量的个数，向量的维数)，边界可以取到=
如果a1a2a3a4as线性无关，那么秩就等于s。同理，如果相关，那么秩就要小于s。
如果a1a2a3a4…as能用b1b2b3b4…bt表示，那么r(a1a2a3a4…as)小于等于r(b1b2b3b4…bt)。
对于一个矩阵，矩阵的行秩一定等于列秩，并且等于矩阵的秩。
r(A,B)≤min{r(A),r(B)}
初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系。
- 不管原向量是行或是列，统统按列构成矩阵。
- 只用初等行变换，直接化成行简化阶梯型。
- 首非零元所在的列做成极大线性无关组。
- 其余向量的表示系数直接写出。
4.线性方程组
1.线性方程组
2.线性方程组有解的判定
方程组表示为矩阵形式：系数矩阵+等式右边的值构成增广矩阵。
方程组表示为向量形式：每个未知数✖对应系数构成的列向量
解的个数的判定：
其中A是系数矩阵，B是系数矩阵加上等式右边值后的增广矩阵。
- r(A)=r(B)=n时，方程组有唯一解。
- r(A)=r(B)<n时，方程组有无穷多解。
- r(A)≠r(B)时，方程组无解。
3.齐次线性方程组
齐次线性方程一定有解(至少有一个零解)。
- 如果r(A)=n，那么有唯一的零解。
- r(A)<n，那么除了零解以外还有非零解。
当方程个数<未知数个数的时候，方程组有非零解。
当方程个数=未知数个数的时候(方阵)：
- 方程组有非零解，那么系数行列式A=0。
- 方程组只有零解，那么系数行列式A≠0。
4.线性方程组解的结构
解的结构有三种：唯一解，无解，无穷解。
1.齐次方程解的结构
对于齐次方程AX=0，如果：
- x1，x2是方程的解，那么(x1+x2)也是方程的解。
- x是方程的解，那么kx也是方程的解。
基础解系之间线性无关，并且任何一个解都能用基础解系来表示。
齐次方程求所有的通解(用基础解系来表示)的步骤：
- 写出系数矩阵，并化成行简化阶梯型
- 首非零行的非零元对应的未知数写在等式的左边，其余写在等式的右边，构成方程。
- 对于等式右边的都是自由变量，取(1,0,0),(0,1,0)…，写出对应的等式左边未知数的方程就是基础解系。
2.非齐次方程解的结构
对于非齐次方程AX=b，如果：
- x1，x2是方程AX=b的解，那么(x1-x2)是方程AX=0的解。
- x是方程AX=b的解，y是方程AX=0的解，那么(x+y)是方程AX=b的解。
非齐次方程AX=b的全部解可以用非齐次方程AX=b的一个特解+AX=0的基础解系的线性组合来表示。
求非齐次线性方程组：
求AX=0的基础解系的步骤和上面一样，求特解时只需要写出增广矩阵，然后和上述步骤类似取自由变量为0的值然后得到一个特解。
5.相似矩阵及其二次型
1.矩阵的特征值及其特征向量
对于一个n阶方阵A，数λ，存在非零列向量a，使得Aa=λa，那么λ就是一个特征值，a就是特征值λ对应的一个特征向量。
λ特征值可以为0，特征向量a不能为0。
求特征值：
求特征值和特征向量：
2.相似对角化
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3.正交相似对角化
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-x8rX4lF9-1600480560108)(C:\Users\Aurora\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200919093623228.png)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3tlIZQGu-1600480560111)(C:\Users\Aurora\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200919093831890.png)]
4.特征值的性质
类似取自由变量为0的值然后得到一个特解。
5.相似矩阵及其二次型
1.矩阵的特征值及其特征向量
对于一个n阶方阵A，数λ，存在非零列向量a，使得Aa=λa，那么λ就是一个特征值，a就是特征值λ对应的一个特征向量。
λ特征值可以为0，特征向量a不能为0。
求特征值：
求特征值和特征向量：
2.相似对角化
3.正交相似对角化
4.特征值的性质
