张量积型的Bernstein基函数

张量积型的Bernstein基函数

       所谓张量积型，或者乘积型的二元空间是指，他的基函数可以由一元基函数通过张量积（乘积）得到.例如，我们考虑两个分量的次数分别不超过m和n次的二元多项式空间$P_{m,n}$,可以由两个一元多项式空间$P_m$和$P_n$的张量积得到，即$P_{m,n}=P_m⨂P_n$.因此
$$\begin{array}{rl}a& =span\left\{(1,x,\cdots ,x^m)⨂(1,y,\cdots ,y^m)\right\}\\ & =span\left\{x^i{y}^j,i=0,1,\cdots ,m,j=0,1,\cdots ,n\right\}\end{array}$$
$P_{m,n}$空间的基函数$x^i{y}^j(i=0,1,\cdots ,m,j=0,1,\cdots ,n)$对应的矩阵结构，

$$\begin{array}{ccccc}1& x& x^2& x^3& \cdots \\ y& xy& x^{2}y& x^{3}y& \cdots \\ y^2& x{y}^2& x^2{y}^2& x^3{y}^2& \cdots \\ y^3& x{y}^3& x^2{y}^3& x^3{y}^3& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \end{array}$$
因此可以称为矩形上的多项式空间.
       由上可知，通过两组Bernstein基函数$B_i^m(u)$和$B_j^n(v)$的张量积，就可以得到张量积型的二元Bernstein基函数

$$B_{i,j}^{m,n}(u,v)=B_i^m(u)B_j^n(v),i=0,1,\cdots ,m,j=0,1,\cdots ,n$$

       下图给了三个张量积型的双二次Bernstein基函数$B_{0,0}^{2,2}(u,v)、B_{1,0}^{2,2}(u,v)$ 和$B_{1,1}^{2,2}(u,v)$在单位矩阵$[0,1]\times [0,1]$上的图像.

二、相应的matlab程序

function bernstein_surf_bf
%bf:  basis function基函数
%张量积型的bernstein基函数
a = 0;
b = 1;
N = 40;
M = 50;
hx = (b-a)/N;
hy = (b-a)/M;
x = (a:hx:b)';                   %x：[0,1]区间N等分得到的向量
y = (a:hy:b)';                   %y：[0,1]区间M等分得到的向量
n = 2;
m = 2;
z = f(x,y,n,m,1,1);
figure(1)
surf(x,y,z)
title('B^{2,2}_{1,1}');

end

function z = f(x,y,n,m,N,M)        %n:n次bernstein基函数；m：m次bernstein基函数
[x,y] =meshgrid(x,y);              %N：n次bernstein基函数中取B(n,N)
z = B(x,n,N).*B(y,m,M);
end

function y = B(x,n,i)
y = k(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i));
end

function y = k(n,i)
y1 = factorial(n);            %n的阶乘
y2 = factorial(i)*factorial(n-i);
y = y1/y2;
end