2020牛客暑期多校训练营（第一场）B：Infinite Tree（虚树）

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codeforce 上有一个 $m=5000$ 的版本

和式相当于求这棵树的关键点的带权重心，由于树是无限大的，不能用一般的方法去求关键点的重心。
注意到重心一定落在关键点上，而关键点只有 $10^5$ 个，可以建立虚树，然后使用二次扫描换根法来求解重心。

建立虚树需要知道关键点的 dfs 序的大小关系。若在递归时，优先走质因子较小的树边，那么容易证明对于任意的 $i\in [1,n)$，恒有 $dfn[(i+1)!]>dfn[i!]$ 成立。

证明如下：设 $i!$ 的质因子分解形式为：$p_1^{x_1}\ast p_2^{x_2}\ast ..\ast p_n^{x_n}，(p_1<p_2<..<p_n)$，$(i+1)!$ 会在增大某几项质因子的幂次(也可能会产生一个新的质因子 $p_{n+1}$)，设从右至左第一个幂次不等的质因子为 $p_i$，则在$p_i^{x_i}$走完以后， $i!$ 会走 $p_{i-1}$ 而 $(i+1)!$ 会继续走 $p_i$，这使得 $(i+1)!$ 的 dfs 序变大。当 $(i+1)$ 是一个质数时，第一个幂次不等的质因子为 $p_{n+1}$，这种情况显然 dfs 序更小。

显然 $dep[i!]={\sum }_{}{x}_i$，现在需要知道 $dep[lca(i!,(i+1)!)]$，根据定义它们的 $lca$ 显然为 $p_i^{x_i}\ast p_{i+1}^{x_{i+1}}\ast ...\ast p_n^{x_n}$，当 $i+1$ 是一个质数时，他们的 $lca$ 为 1

构建虚树的过程，就是利用栈维护一条链，出现新的 lca，这个 lca 不会再和其它点再求 lca，因此只需要处理出 $i!$ 和 $(i+1)!$ 的 $lca$ 的深度，这个过程可以利用树状数组得到，$dep[(i+1)!]$ 可以由 $dep[i!]$ + $dep[i+1]$ 得到。

最后对构建完的虚树二次扫描换根求解重心

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代码：

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(i) (i & (-i))
typedef long long ll;
const int maxn = 3e5 + 10;
const int N = 1e5;
int w[maxn], n, dep[maxn], lcadep[maxn];	//dep 维护每个点的深度, lcadep 维护每个点和上一个点的 lca 的深度 
int sta[maxn],top,tot,mindiv[maxn];			
int sum[maxn], son[maxn];
ll val[maxn], ans[maxn];
vector<int> g[maxn];
void add(int u,int v) {
    
    
	g[u].push_back(v);
	//g[v].push_back(u);
}
int getsum(int x) {
    
    
	int ans = 0;
	for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
		ans += sum[i];
	return ans;
}
void upd(int x,int v) {
    
    
	for (int i = x; i <= N; i += lowbit(i))
		sum[i] += v;
}
void prework() {
    
    
	mindiv[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= 100000; i++)
		for (int j = i; j <= 100000; j += i)
			if (!mindiv[j]) mindiv[j] = i;
}
void build(int n) {
    
    			//建立虚数
	//在这棵无限大的树，先遍历较小的质因子 ，则有 dfn[(i + 1)!] > dfn[i!]
	dep[1] = sta[top = 1] = 1;
	for (int i = 2, j; i <= n; i++) {
    
    
		dep[i] = dep[i - 1] + 1;			//加上最大质因子 
		for (j = i; j != mindiv[j]; j /= mindiv[j], dep[i]++);
		lcadep[i] = getsum(n) - getsum(j - 1) + 1;
		for (j = i; j != 1; j /= mindiv[j])
			upd(mindiv[j],1);
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
		while (top > 1 && dep[sta[top - 1]] >= lcadep[i]) {
    
    
			add(sta[top - 1],sta[top]);
			top--;
		}
		if (dep[sta[top]] != lcadep[i]) {
    
    
			dep[++tot] = lcadep[i]; w[tot] = 0;
			add(tot,sta[top]);
			sta[top] = tot;
		}
		sta[++top] = i;
	}
	while (top > 1)
		add(sta[top - 1],sta[top]), top--;
}
void dfs1(int u) {
    
    
	val[u] = w[u]; ans[u] = 0;
	for (auto it : g[u]) {
    
    
		dfs1(it);
		son[u] += son[it];
		val[u] += val[it];
		ans[u] += ans[it] + 1ll * val[it] * (dep[it] - dep[u]);
	}
} 
void dfs2(int u) {
    
    
	for (auto it : g[u]) {
    
    
		ll v = ans[u] - ans[it] - val[it] * (dep[it] - dep[u]);
		ll s = val[u] - val[it];
		ans[it] += v + s * (dep[it] - dep[u]);
		val[it] += s;
		dfs2(it);
	}
}
void clear() {
    
    
	for (int i = 2, j; i <= n; i++) {
    
    
		for (j = i; j != 1; j /= mindiv[j])
			upd(mindiv[j],-1);		
	}
}
int main() {
    
    
	prework();
	while (~scanf("%d",&n)) {
    
    
		tot = n;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d",&w[i]);
		build(n);
		dfs1(1); dfs2(1);
		ll res = 1e18;
		for (int i = 1; i <= tot; i++)
			res = min(res,ans[i]);
		for (int i = 1; i <= tot; i++)
			g[i].clear();
		clear();
		printf("%lld\n",res);
	}
	return 0;
}