维纳辛钦定理的证明一

维纳-辛钦定理，又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理或辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出：任意一个均值为常数的广义平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换

f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）：

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• 维纳辛钦定理的证明二

自相关函数

$$R(\tau )=E[x(t)\bar{x}(t-\tau )]$$
自相关函数的定义是乘积的数学期望。

功率谱密度

平稳随机信号的功率谱密度是由确定信号的能量谱密度及功率谱密度引申来的

对于任意信号 $x(t)$，定义信号的能量，
$$E\triangleq \underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt$$
和功率
$$P\triangleq \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt$$

记
$$x_T(t)=\{\begin{array}{ll}x(t),& |t|<T\\ 0,& |t|>T\end{array}$$
及其傅里叶变换
$$X_T(\omega )={\int }_{-T}^T{x}_T(t)e^{-j\omega t}dt$$

根据 帕塞瓦尔（Parseval）定理，频域和时域上对同一信号所求的能量相等：
$$E\triangleq \underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\underset{T\to \infty }{\lim }|X_T(\omega ){|}^{2}d\omega$$
$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X_T(\omega ){|}^{2}d\omega$$
故信号的功率谱密度为：
$$G(\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|X_T(\omega ){|}^2}{2T}$$

平稳随机信号的功率谱密度

考虑平稳随机信号 { x ( t ) } \{x(t)\} { x(t)}，对于其每一个样本$x^{(k)}(t)$有
$$G^{(k)}(\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|X_T^{(k)}(\omega ){|}^2}{2T}$$

取期望
$$\begin{array}{rl}G(\omega )& =E[G^{(k)}(\omega )]\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}E\left[{\left|X_T^{(k)}(\omega )\right|}^2\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$为随机过程 $x(t)$ 的平均功率谱密度函数

维纳-辛钦定理

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}E\left[|X^{(k)}(\omega ){|}^2\right]\\ & \\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}E\left[{\int }_{-T}^T{\int }_{-T}^T{x}^{(k)}(t_1){\bar{x}}^{(k)}(t_2)e^{-j\omega (t_1-t_2)}d{t}_{1}d{t}_2\right]\\ & \\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}\left[{\int }_{-T}^T{\int }_{-T}^{T}E[x^{(k)}(t_1){\bar{x}}^{(k)}(t_2)]e^{-j\omega (t_1-t_2)}d{t}_{1}d{t}_2\right]\\ & \\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}\left[{\int }_{-T}^T{\int }_{-T}^{T}R(t_1,t_2)e^{-j\omega (t_1-t_2)}d{t}_{1}d{t}_2\right]\end{array}$$
记 $rect(z)=\{\begin{array}{ll}1,& |z|\le 0.5\\ 0,& otherwise\end{array}$

def rect(x):
    y = np.zeros_like(x)
    y[np.abs(x) < 0.5] = 1
    return y

x = np.linspace(-2, 2, 1000)
y = rect(x)
plt.plot(x,y)
plt.title('rect')
plt.ylim([-1,2])

令 $\tau =t_1-t_2$，
$$\begin{array}{rl}G(\omega )& =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }rect(\frac{t_1}{2T})rect(\frac{t_2}{2T})R(t_1,t_2)e^{-j\omega (t_1-t_2)}d{t}_{1}d{t}_2\right]\\ & \\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }rect(\frac{t_2+\tau }{2T})rect(\frac{t_2}{2T})R(\tau )e^{-j\omega (\tau )}d\tau d{t}_2\right]\\ & \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2T}rect(\frac{t_2+\tau }{2T})rect(\frac{t_2}{2T})d{t}_2\right]R(\tau )e^{-j\omega (\tau )}d\tau \\ & \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T\frac{1}{2T}rect(\frac{t_2+\tau }{2T})d{t}_2\right]R(\tau )e^{-j\omega (\tau )}d\tau \\ & \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T\frac{1}{2T}rect(\frac{t+\tau }{2T})dt\right]R(\tau )e^{-j\omega (\tau )}d\tau \\ & \end{array}$$
其中
$$\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T\frac{1}{2T}rect(\frac{t+\tau }{2T})dt=\{\begin{array}{ll}1-\frac{|\tau |}{2T},& |\tau |\le 2T\\ 0,& otherwise\end{array}$$
对所有 $\tau \in (-\infty ,\infty )$ 都有
$$\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T\frac{1}{2T}rect(\frac{t+\tau }{2T})dt=1$$
故
$$G(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j\omega (\tau )}d\tau$$

参考文献

• https://wenku.baidu.com/view/27c51589d15abe23482f4d92.html

• https://wenku.baidu.com/view/98a78165f5335a8102d2208e.html?sxts=1601260991985&word=%E7%BB%B4%E7%BA%B3%E8%BE%9B%E9%92%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E8%AF%81%E6%98%8E