f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）：
自相关函数
R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) x ( t − τ ) d t = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) x ( t + τ ) d t R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau) dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t+\tau) dt R(τ)=∫−∞∞x(t)x(t−τ)dt=∫−∞∞x(t)x(t+τ)dt
能量谱密度
由帕塞瓦尔等式，定义信号的能量
E ≜ ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( ω ) ∣ 2 d ω E \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d \omega E≜∫−∞∞∣x(t)∣2dt=2π1∫−∞∞∣X(ω)∣2dω
故能量谱密度为 ∣ X ( ω ) ∣ 2 \displaystyle{|X(\omega)|^2} ∣X(ω)∣2
定理证明
∣ X ( ω ) ∣ 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x ( t 1 ) x ˉ ( t 2 ) e − j ω ( t 1 − t 2 ) d t 1 d t 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x ( t 2 + τ ) x ˉ ( t 2 ) e − j ω ( τ ) d τ d t 2 = ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ x ( t 2 + τ ) x ˉ ( t 2 ) d t 2 ] e − j ω ( τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω ( τ ) d τ \begin{aligned} |X(\omega)|^2 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x(t_1)\bar{x}(t_2) e^{-j\omega (t_1-t_2)} dt_1 dt_2 \\\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x(t_2+\tau)\bar{x}(t_2) e^{-j\omega (\tau)} d\tau dt_2 \\\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty x(t_2+\tau)\bar{x}(t_2) dt_2\right]e^{-j\omega (\tau)} d\tau \\\\ &= \int_{-\infty}^\infty R(\tau)e^{-j\omega (\tau)} d\tau \end{aligned} ∣X(ω)∣2=∫−∞∞∫−∞∞x(t1)xˉ(t2)e−jω(t1−t2)dt1dt2=∫−∞∞∫−∞∞x(t2+τ)xˉ(t2)e−jω(τ)dτdt2=∫−∞∞[∫−∞∞x(t2+τ)xˉ(t2)dt2]e−jω(τ)dτ=∫−∞∞R(τ)e−jω(τ)dτ